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2006 早稲田大学 国際教養学部

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 座標平面上の 2 A (0 ,4) B (3, 0) に対し線分 AB 上を動く点 P と,円 x2+ y2= 1 の内部または周上を動く点 Q を考える.線分 PQ PR :RQ= 1:2 に内分する点を R とする.このとき点 R が動く範囲の面積は

1 ( +π )

である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2)  x y 2 x2 +3 y2= 1 をみたす実数のとき, x2 y2+ xy の最大値は

+

である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(3)  a>1 とする.自然数 n に対して

f( n)=log a 14 + k= 1n loga (k+ 1)( 3k+ 1)k (3 k+4)

とおく.

f( n)>log a 62 189

をみたす n の範囲は n である.

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易□ 並□ 難□

【1】

(4) ひとつのサイコロを 4 回投げ,出た目の数を順に x y z w とする.このとき (x y)( yz )(z w) 0 となる確率は

216

である.また (x y) (y- z)( zw) (w x)=0 となる確率は

72

である.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上に点 A(5 ,0 ) を中心とする半径 4 の円 C 1 と点 B (3 ,0 ) が与えられている.点 P (p ,q ) が円 C1 の周上を動くとき, P を中心として半径の長さが 2 BP の円 C 2 x 軸との二つの交点を M (m ,0 ) N ( n,0 ) とする.ただし, m<n とする.点 M は動点 P の位置に関係なく定まる定点となることをみよう.

 点 P (p ,q ) は円 C 1 の周上にあるから

p2+ q2= p

である.また円 C 2 の方程式は

(x p)2 +(y q) 2= {( p )2 +q2 }

で与えられるから,式 を代入して整理すると円 C 2 の方程式は

x2+ y2 2p x2 qy p = 0

となる.ゆえに

m= n = p+

となり, M は定点 ( ,0 ) である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【3】  3 次関数 f ( x) x =1 x =3 で極値をとり,また曲線 y =f (x) 上の点 (2 ,2) における接線の方程式が 3 x+ y8 =0 であるとする.このとき

f( x)= x3 x2+ x

である.次に,原点 O を通る直線 l はこの曲線と 2 P ( x1 ,y 1 ) Q( x2 ,y2 ) で交わっているとする.ただし, 0<x 1<x 2 とする.直線 l とこの曲線とで囲まれた 2 つの部分の面積 S 1 S 2 が等しくなるとき

x1= x2=

である.このとき,その面積は

S1= S2=

である.

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