2006　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】(1)　変数$x\text{，}y\text{，}z$と定数$a\text{，}b$に対して恒等式

$a(x{y}^2+y{z}^2+z{x}^2)+b(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)=(x-y)(y-z)(z-x)$

が成り立つ．このとき$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　定数$c\text{，}d$に対して$x+y+z=0$のとき，つねに等式

${(x-y)}^2{(y-z)}^2{(z-x)}^2=c{(xy+yz+zx)}^3+d{(xyz)}^2$

が成り立つ．このとき$c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$3$次方程式$x^3-12x+8=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．これらを$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha >\beta >\gamma \text{）}$とするとき

$\alpha {\beta }^2+\beta {\gamma }^2+\gamma {\alpha }^2=\boxed{\text{オ}}\text{，}{\alpha }^2\beta +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\alpha =\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　点$\mathrm{P}$は次のように数直線上を動く．$1$個のサイコロを投げて$1$の目が出たときは正の向きに$2$だけ進み，$2$または$3$の目が出たときは正の向きに$1$だけ進み，その他の目が出たときは負の向きに$2$だけ進む．最初に点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$上にあり，$1$個のサイコロを$5$回続けて投げる試行を行う．この試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{OQ}$の長さを$d$とする．さらに，この試行で$1$の目が出る回数を$k$とおく．

(1)　$d=0$となるのは$k=\boxed{\text{キ}}$の場合に限られる．また，$d=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{6^2}}$である．

(2)　$d\geqq 8$となるような$k$のとる値は$\boxed{\text{ケ}}$通りある．また，$d\geqq 8$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{6^4}}$である．

(3)　$d\geqq 8$であれば$X=d$とし，$d<8$であれば$X=0$と定めるとき，$X$の期待値は${\displaystyle \frac{25\times \boxed{\text{サ}}}{6^4}}$である．

【３】　座標空間内の点$\mathrm{A}(1,3,5)$を中心とし，点$\mathrm{B}(0,3+\sqrt{2},2)$を通る球面を$S$と表す．$S$の方程式は

${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(z-5)}^2=\boxed{\text{シ}}$

で与えられる．立方体$V$は，すべての頂点が$S$上にあり，どの辺も$x$軸，$y$軸，$z$軸のうちのいずれかと平行であるとする．立方体$V$の一辺の長さは$\boxed{\text{ス}}$である．原点からの距離が最大である立方体$V$の頂点の座標は$(3,\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$であり，原点からの距離が最小である$V$の表面上の点$\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$である．

【４】　自然数$n$に対して，関数

$y=x^2-n|x|-nx+n^2$

で表される曲線を$C_n\text{，}$異なる$2$点において$C_n$と接する直線を$l_n$とおく．

(1)　$l_n$の方程式は

$\boxed{\text{テ}}nx+4y=\boxed{\text{ト}}{n}^2$

である．

(2)　$C_n$と$l_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を$S_n={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{n}^{\beta }$で表すとき，$\alpha =\boxed{\text{ナ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ニ}}$である．

(3)　(2)で定めた$S_n$に対して，$T_n$を

$T_n={\displaystyle \frac{1}{100}}(S_1+S_2+S_3+\cdots +S_n)$

とおく．このとき，$T_{15}=\boxed{\text{ヌ}}$である．また，$T_n>3$をみたす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ネ}}$である．