2006 早稲田大学 理工学部

Mathematics

Examination

Test

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2006-13591-0301(解答は川村先生サイトで)

2006 早稲田大学 理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【1】  n=0 1 2 に対して,関数 f n( x)

f0 (x )=e x f n+1 ( x)= 0 x fn (t )d t

によって定める.以下の問に答えよ.

(1)  n1 に対して

ex= 1+x+ x22 !+ + xn- 1( n-1) ! +fn (x )

を示せ.

(2)  n1 とする. x0 に対して,不等式

0f n( x) xn n! e x

を示せ.

(3)  limn fn (1) を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【2】  n=1 2 に対して x の整式

Pn (x )=x 3-n x2 -(2 n+ 12) x-8

を考える.以下の問に答えよ.

(1)  3 次方程式 P n( x)= 0 の正の実数解はただ 1 つであることを示せ.

(2)  t P n( x)= 0 の解であるとき, Pn ( - 4t +2 ) を求めよ.

(3)  Pn =0 の正の実数解を α n とするとき, Pn (x )=0 の最小の実数解 β n α n で表せ.さらに limn βn を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【3】 数列 a 0 a1 a2 は条件

{ a0 a1 は自然数 a n+2 = |a n+1 -a n | n=0 1 2

を満たすとする.以下の問に答えよ.

(1) 数列 b 0 b1 b2 を次の式で定める.

bn ={ a 2n a2 n a 2n +1 のとき) a 2n +1 a 2n < a2 n+1 のとき)

  a2 n a 2n +1 a2 n+ 2 がすべて正ならば b n> bn+ 1 が成り立つことを示せ.

(2)  an =0 を満たす n があることを示せ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面において原点 O から出発する動点 P が確率 p 0p 1 x 軸の正方向と π3 の角度をなす方向に,確率 1 -p x 軸の正方向と - π 6 の角度をなす方向に進み,どちらの場合も O からの距離が 1 である点に到達するものとする.この到着点を A とする.さらに動点 P について以下の 2 通りの移動(),()を考える.

 以下の問に答えよ.

(1) 線分 OB の長さの 2 乗の期待値 f (p) を求めよ.

(2) 線分 OC の長さの 2 乗の期待値 g (p) を求めよ.

(3)  |f (p)- g( p) | の最大値を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【5】 動点 P x 軸の 2 x4 の部分,動点 Q y 軸の y 0 の部分を PQ =4 を満たしながら動く.このとき線分 PQ が動いてできる領域を F とする.また O は原点とし, QPO α とする.

  0s 4 を満たす s を固定したとき,点 (s ,y) F に属するような y の最大値を t とし,線分 PQ が点 (s ,t) を通るときの α の値を θ とする.以下の問に答えよ.

(1)  θ= π3 が成り立つ s の範囲を求めよ.

(2)  s が(1)で求めた範囲に属さないとき s t θ で表せ.

(3)  F の面積を求めよ.