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2006-13591-0301
2006 早稲田大学 理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 n=0 , 1 ,2 , ⋯ に対して,関数 f n⁡( x) を
f0 ⁡(x )=e x ,f n+1 ⁡( x)= ∫0 x⁡ fn ⁡(t )⁢d t
によって定める.以下の問に答えよ.
(1) n≧1 に対して
ex= 1+x+ x22 !+ ⋯+ xn- 1( n-1) ! +fn ⁡(x )
を示せ.
(2) n≧1 とする. x≧0 に対して,不等式
0≦f n⁡( x)≦ xn n! ⁢e x
(3) limn →∞ ⁡ fn⁡ (1) を求めよ.
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【2】 n=1 , 2 ,⋯ に対して x の整式
Pn ⁡(x )=x 3-n ⁢x2 -(2 ⁢n+ 12)⁢ x-8
を考える.以下の問に答えよ.
(1) 3 次方程式 P n⁡( x)= 0 の正の実数解はただ 1 つであることを示せ.
(2) t が P n⁡( x)= 0 の解であるとき, Pn ⁡( - 4t +2 ) を求めよ.
(3) Pn =0 の正の実数解を α n とするとき, Pn ⁡(x )=0 の最小の実数解 β n を α n で表せ.さらに limn→ ∞⁡ βn を求めよ.
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【3】 数列 a 0 ,a1 , a2 , ⋯ は条件
{ a0 , a1 は自然数 a n+2 = |a n+1 -a n | ( n=0 , 1 ,2 , ⋯ )
を満たすとする.以下の問に答えよ.
(1) 数列 b 0 ,b1 , b2 , ⋯ を次の式で定める.
bn ={ a 2⁢n ( a2 ⁢n ≧a 2⁢n +1 のとき) a 2⁢n +1 ( a 2⁢n < a2⁢ n+1 のとき)
a2 ⁢n ,a 2⁢n +1 , a2 ⁢n+ 2 がすべて正ならば b n> bn+ 1 が成り立つことを示せ.
(2) an =0 を満たす n があることを示せ.
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【4】 xy 平面において原点 O から出発する動点 P が確率 p ( 0≦p ≦1 ) で x 軸の正方向と π3 の角度をなす方向に,確率 1 -p で x 軸の正方向と - π 6 の角度をなす方向に進み,どちらの場合も O からの距離が 1 である点に到達するものとする.この到着点を A とする.さらに動点 P について以下の 2 通りの移動(イ),(ロ)を考える.
以下の問に答えよ.
(1) 線分 OB の長さの 2 乗の期待値 f⁡ (p) を求めよ.
(2) 線分 OC の長さの 2 乗の期待値 g⁡ (p) を求めよ.
(3) |f⁡ (p)- g⁡( p) | の最大値を求めよ.
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【5】 動点 P は x 軸の 2≦ x≦4 の部分,動点 Q は y 軸の y ≧0 の部分を PQ =4 を満たしながら動く.このとき線分 PQ が動いてできる領域を F とする.また O は原点とし, ∠QPO を α とする.
0≦s ≦4 を満たす s を固定したとき,点 (s ,y) が F に属するような y の最大値を t とし,線分 PQ が点 (s ,t) を通るときの α の値を θ とする.以下の問に答えよ.
(1) θ= π3 が成り立つ s の範囲を求めよ.
(2) s が(1)で求めた範囲に属さないとき s , t を θ で表せ.
(3) F の面積を求めよ.