2006　早稲田大学　理工学部MathJax

【１】　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_0(x)=e^x\text{，}{f}_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt$

によって定める．以下の問に答えよ．

(1)　$n\geqq 1$に対して

$e^x=1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}+f_n(x)$

を示せ．

(2)　$n\geqq 1$とする．$x\geqq 0$に対して，不等式

$0\leqq f_n(x)\leqq {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}{e}^x$

を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(1)$を求めよ．

【２】　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して$x$の整式

$P_n(x)=x^3-n{x}^2-(2n+12)x-8$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$3$次方程式$P_n(x)=0$の正の実数解はただ$1$つであることを示せ．

(2)　$t$が$P_n(x)=0$の解であるとき，$P_n(-{\displaystyle \frac{4}{t+2}})$を求めよ．

(3)　$P_n=0$の正の実数解を${\alpha }_n$とするとき，$P_n(x)=0$の最小の実数解${\beta }_n$を${\alpha }_n$で表せ．さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n$を求めよ．

【３】　数列$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$は条件

$\{\begin{array}{l}{a}_0\text{，}{a}_1\text{は自然数}\\ a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たすとする．以下の問に答えよ．

(1)　数列$b_0\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots$を次の式で定める．

$b_n=\{\begin{array}{l}{a}_{2n}\text{（}{a}_{2n}\geqq a_{2n+1}\text{のとき）}\\ a_{2n+1}\text{（}{a}_{2n}<a_{2n+1}\text{のとき）}\end{array}$

　$a_{2n}\text{，}{a}_{2n+1}\text{，}{a}_{2n+2}$がすべて正ならば$b_n>b_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(2)　$a_n=0$を満たす$n$があることを示せ．

【４】　$xy$平面において原点$\mathrm{O}$から出発する動点$\mathrm{P}$が確率$p\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$で$x$軸の正方向と${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の角度をなす方向に，確率$1-p$で$x$軸の正方向と$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の角度をなす方向に進み，どちらの場合も$\mathrm{O}$からの距離が$1$である点に到達するものとする．この到着点を$\mathrm{A}$とする．さらに動点$\mathrm{P}$について以下の$2$通りの移動(イ)，(ロ)を考える．

• (イ)　動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から出発し確率$p$で$x$軸の正方向と${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の角度をなす方向に，確率$1-p$で$x$軸の正方向と$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の角度をなす方向に進み，どちらの場合も$\mathrm{A}$からの距離が$1$である点に到達するものとする．この到達点を$\mathrm{B}$とする．
• (ロ)　動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から出発し確率$p$で$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の角度をなす方向に，確率$1-p$で$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の角度をなす方向に進み，どちらの場合も$\mathrm{A}$からの距離が$1$である点に到達するものとする．この到達点を$\mathrm{C}$とする．

　以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OB}$の長さの$2$乗の期待値$f(p)$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OC}$の長さの$2$乗の期待値$g(p)$を求めよ．

(3)　$|f(p)-g(p)|$の最大値を求めよ．

【５】　動点$\mathrm{P}$は$x$軸の$2\leqq x\leqq 4$の部分，動点$\mathrm{Q}$は$y$軸の$y\geqq 0$の部分を$\mathrm{PQ}=4$を満たしながら動く．このとき線分$\mathrm{PQ}$が動いてできる領域を$F$とする．また$\mathrm{O}$は原点とし，$\angle \mathrm{QPO}$を$\alpha$とする．

　$0\leqq s\leqq 4$を満たす$s$を固定したとき，点$(s,y)$が$F$に属するような$y$の最大値を$t$とし，線分$\mathrm{PQ}$が点$(s,t)$を通るときの$\alpha$の値を$\theta$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$が成り立つ$s$の範囲を求めよ．

(2)　$s$が(1)で求めた範囲に属さないとき$s\text{，}t$を$\theta$で表せ．

(3)　$F$の面積を求めよ．