2006　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(1)　整式$a{x}^3+b{x}^2-2$が，整式${(x+1)}^2$で割り切れるとき，定数$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(2)　座標空間の点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{D}(-1,0,0)$および$\mathrm{P}(x,y,0)$に対し，

$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{CPD}$

が成り立っている．このとき，$x\text{，}y$は次の式を満たす．

${(x-\boxed{\text{ウ}})}^2+y^2=\boxed{\text{エ}}$

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(3)　正の整数$n$に対し

$f(n)={\displaystyle \frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}}$

と定義するとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{60}}f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(60)=\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}$

である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(4)　$\cos 40°+\cos 80°+\cos 120°+\cos 160°=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

【２】　$zy$平面の放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$をとる．ただし，$a<b$とする．放物線$C$の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における接線の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　放物線$C$と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における接線で囲まれる領域の面積を$S\text{，}$放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれる領域の面積$T$とする．このとき${\displaystyle \frac{S}{T}}$の値を求めよ．

(3)　$S={\displaystyle \frac{9}{4}}$となるように点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が放物線$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　正の整数$n$に対して，整数$f(x)$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすように定義されている．

• (ⅰ)　$f(1)=1$
• (ⅱ)　任意の正の整数$n$に対して，
  • $\{\begin{array}{l}f(2n)=f(n)\\ f(2n+1)=f(n)+1\end{array}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(4)\text{，}f(13)\text{，}f(2^{10}+1)$を求めよ．

(2)　$1\leqq n\leqq 2006$のとき，$f(n)$の最大値$M$を求めよ．

(3)　(2)で求めた最大値$M$に対して，$f(n)=M$を満たす$2006$以下の正の整数$n$をすべて求めよ．