2006　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　関数$f(x)=x^2+ax+b$と$g(x)=x^3+(a+2)x^2+cx+d$は，次の条件を満たしている．

• (ⅰ)　$f(x)$と$g(x)$の$x=2$における接線は一致する．
• (ⅱ)　関数$f(x)-g(x)$は$x={\displaystyle \frac{2}{3}}$で極値をとる．
• (ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^3}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

　次の問に答えよ．

(1)　定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動して得られる曲線の方程式を求めよ．

【２】　$x$の$2$次方程式

$x^2-2\sqrt{3}(\cos \theta )x+{\sin }^2\theta =0\cdots \text{①}$

について，次の問に答えよ．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 360°$とする．

(1)　$\theta =30°$のとき，方程式$\text{①}$の解を求めよ．

(2)　方程式$\text{①}$が実数解をもつような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　方程式$\text{①}$の$2$つの実数解の和の最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．なお，重解も$2$つの実数解とみなす．

(4)　方程式$\text{①}$の$2$つの実数解の積の最大値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．なお，重解も$2$つの実数解と見なす．

【３】　空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,1,-2)\text{，}\mathrm{B}(-2,3,-2)$を通る平面$\pi$と点$\mathrm{P}(5c,c+1,c-1)$を考える．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあるように，定数$c$の値を定めよ．

(2)　平面$\pi$に垂直な大きさが$1$のベクトル（単位ベクトル）$\overrightarrow{e}$の成分表示を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$は平面$\pi$上にないとする．

　点$\mathrm{P}$を通り平面$\pi$に垂直な直線$l$と平面$\pi$との交点$\mathrm{H}$の座標を，$c$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$は平面$\pi$上にないとする．

　平面$\pi$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を，$c$を用いて表せ．