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2006-14861-0201
2006 同志社大学 神学部・経済学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 数列 {a n} を a 1=1 , an+ 1=2 ⁢an +3 (n= 1 , 2 , ⋯ ) によって決める.定数 c = ア を使って, bn= an+ c ( n=1 , 2 , ⋯ ) によって決まる数列 { bn } は公比が r = イ の等比数列であり,その一般項は b n= ウ である.したがって, { an } の一般項は an = エ であり, an ≧18 となる最小の n は n = オ である.また, { an } の初項から第 n 項までの和は Sn= カ であり, Sn ≧2006 となる最小の n は n = キ である.
2006-14861-0202
(2) サイコロを 2 回投げて, 1 回目と 2 回目に出る目をそれぞれ x , y とする.このとき x2 −7⁢ x+11 <y となる確率は ク であり, x2− 7⁢x+ 11<y< −x2 +7⁢ x-8 となる確率は ケ である.また, x2− 7⁢x+ 11<y< −x2 +7⁢ x+b となる確率が 1 2 となる定数 b の値の範囲は, コ である.
2006-14861-0203
【2】 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,
OA→ =a → , OB→ =b → , OC→ =c →
とし,次の問いに答えよ.ただし,ベクトル u → と v → の内積を u→ ⋅v → で表す.
(1) ▵OAB の面積 S を求めよ.
(2) ▵OAB の重心を G とするとき, OG→ を a → と b→ で表せ.
(3) OG→ =g → とするとき, (c→ −g →) ⋅a →= 0 と (c→ −g →) ⋅b →= 0 を示せ.
(4) GC→ の大きさ h を求めよ.
(5) 正四面体 OABC の体積 V を求めよ.
2006-14861-0204
【3】 放物線 C1: y=− x2 と,頂点が ( t+2 ,−3⁢ t-2 ) である放物線 C2: y= x2+ a⁢x+ b を考える. C1 と C 2 が 2 つの異なる共有点をもつとき,次の問いに答えよ.
(1) a ,b を t を用いて表せ.
(2) t がとる値の範囲を求めよ.
(3) C1 , C2 の 2 つの異なる共有点の x 座標を,それぞれ p , q ( p<q ) とする. C1 , C2 で囲まれた図形の面積 S を, p と q を用いて表せ.
(4) 面積 S を t を用いて表せ.また, S の最大値とそのときの t の値を求めよ.