2006　同志社大　社会学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$a\text{，}b$を定数とし，$a>0$とする．放物線$y=-x^2-2ax-b$は，$x$軸と$2$つの異なる交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をもつ．ただし，$\mathrm{B}$の$x$座標は$\mathrm{A}$の$x$座標より大きいとする．放物線の頂点$\mathrm{P}$の座標は$a\text{，}b$を用いて$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$と表される．$\angle \mathrm{APB}=120°$とすると，頂点$\mathrm{P}$の$y$座標は一定で$\boxed{\text{ウ}}$となる．このとき，原点を$\mathrm{O}$とおくと$\mathrm{OA}:\mathrm{AB}=2:1$となる場合には，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}$が成り立つ．さらにこのとき，放物線の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線との交点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$であり，$▵\mathrm{QAB}$の面積と，放物線と$x$軸とで囲まれた部分の面積と，$▵\mathrm{PAB}$の面積は，それぞれ$\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n=n{a}_n\text{，}{a}_1=1$であるとき，$\{a_n\}$と$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \frac{n+2}{3}}{a}_n\text{，}{a}_1=2$であるとき，$\{a_n\}$と $\{S_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(4,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,8,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,4)\text{，}\mathrm{D}(0,0,2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{ABD}$との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$\cos \angle \mathrm{OPD}$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{OPD}$の面積を求めよ．