2006 同志社大 工B2月9日実施MathJax

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2006 同志社大学 工学部B日程

2月9日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

 関数 y= - 4 x+3 2x +5 のグラフを C で表す.

- 4 x+3 2x +5 = + 7 2 (x+ 5 2 )

と変形すると, C y= 7 2x のグラフを x 軸方向に だけ, y 軸方向に だけ平行移動したものであり,したがって,その漸近線は であることがわかる.

  C 上の点 (x, y) x y が整数であるものの座標は ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) である.また,直線 y =kx -2 C が共有点をもたない k の範囲は である.

2006 同志社大学 工学部B日程

2月9日実施

易□ 並□ 難□

【2】  k0 を定数とする.曲線 C :y= (k-x ) ex について次の各問に答えよ.

(1) 曲線 C 上の点 (a, (k-a )e a) における接線の方程式を求めよ.

(2) (1)の接線が原点を通るための k a が満たすべき条件を求めよ.

(3) 曲線 C の接線で原点を通るものがただ一本であるときの k の値を k 0 とし,その接線を l とする. k0 を求め, l の方程式を求めよ.

(4) (3)で得られる曲線 C :y =( k0 -x ) ex の概形を描け.

(5)  y 軸と(3)で得られる曲線 C と接線 l で囲まれた図形の面積を求めよ.

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2月9日実施

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面で,原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上を動く点 P の座標を (s ,t) で表す.

a =(0 ,2) b = (1, 0) c = (0, d)

として,点 P の動きにつれて

OQ =s a +t b +c

を満たす点 Q が動く.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 点 P の座標が (1 ,0) のとき,対応する点 Q の座標 (x ,y) d を用いて表せ.

(2) 点 P C 上を動くとき,対応する点 Q の描く曲線の方程式を求め,その曲線の囲む図形の面積を求めよ.

(3) (2)で求めた曲線が x 軸と共有点をもつための d の条件を求めよ.

(4)  d=0 とする.点 P 1 (1 ,0) から,点 P 2 (0 ,1) から同時に出発し, C 上を反時計回りに同じ速さで動くとする.その速さは正で一定とし, P1 P2 に対応する点を Q 1 Q 2 とする.このとき,内積 O Q1 OQ2 の最大値と最小値を求めよ.

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2月9日実施

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面の曲線

C:x= sint y=sin 2t (0 <t< π 4 )

について次の各問に答えよ.

(1)  C 上の点 P (sin α, sin2 α ) における,曲線 C の接線 l の方程式を求めよ.

(2)  xy 平面の原点 O C 上の点 P (sin α, sin2 α ) を結ぶ直線と接線 l のなす角を θ ( 0<θ < π2 ) とするとき, tanθ cos θ で表せ.

(3) (2)で tan θ=tan α を満たすとき, sinα の値を求めよ.

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