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【4】 任意の枚数のコインをけるゲームがある.ゲームに勝てば賭けたコインは戻り,加えて,賭けたコインと同じ枚数のコインが手に入る.負ければ賭けたコインは没収される.ゲームに勝つ確率は負ける確率はである.このゲームが独立にくり返し行われている.このときS君は以下の戦術Aに従って,ゲームに参加するか否かと,何枚のコインを賭けるかを決める.
戦術A:はじめに枚のコインを賭けてゲームをし,勝てばそれ以降のゲームに参加するのをやめ,負ければ次のゲームに参加する.回目のゲームでは枚のコインを賭けてゲームをし,勝てばそれ以降のゲームに参加するのをやめ,負ければ次のゲームに参加する.回目のゲームでは枚のコインを賭けてゲームをする.このように,それまでのゲームで没収されたコインの総枚数枚のコインを賭けてゲームをし,最初に勝った時点でゲームに参加するのをやめる.ただし,この方法で賭けるのに必要なコインの枚数よりも手持ちのコインが少なくなった場合にも,ゲームに参加するのをやめる.
(1) S君がはじめにのコインを持ってゲームに参加する.戦術Aに従ってゲームをくり返すとき,回以内にゲームに勝つ確率はである.数列の極限はである.
(2) S君がはじめに枚のコインを持ってゲームに参加する.戦術Aに従ってゲームを繰り返すとき,最終的に枚のコインを持っている確率はである.また,ゲームに参加するのをやめた時点でS君が持っているコインの枚数の期待値はである.
(3) S君がはじめに枚(は自然数)のコインを持ってゲームに参加する.戦術Aに従ってゲームをくり返すとき,ゲームに参加するのをやめた時点でS君が持っているコインの枚数の期待値はである.このときのコインの枚数の増加の期待値はであり,数列の極限はである.