2006　立命館大　理系学部Ａ方式2月8日実施MathJax

【１】(1)　関数$f(x)=x^2{e}^{-x}$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}\text{，}$第$2$次導関数は$f^{″}(x)=\boxed{\text{イ}}$である．$f(x)$は$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき極大値$\boxed{\text{エ}}$をとり，$x=\boxed{\text{オ}}$のとき極小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．なお$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$である．

(2)　$k$を定数とするとき，$e^x=k{x}^2$の解の個数を調べると，

解が$3$個となるときの$k$に関する条件は$\boxed{\text{キ}}$，

解が$2$個となるときの$k$に関する条件は$\boxed{\text{ク}}$，

解が$1$個となるときの$k$に関する条件は$\boxed{\text{ケ}}$，

解が$0$個となるときの$k$に関する条件は$\boxed{\text{コ}}$

である．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$を座標とする空間において，同一直線上にない$3$点

$\mathrm{A}(0,-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,-1)\text{，}\mathrm{C}(2,-2,1)$

を通る平面を$\alpha$で表す．ベクトル$\overrightarrow{n}=(1,a,b)$が平面$\alpha$に垂直であるとすると，$\overrightarrow{n}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と垂直であることから，$a\text{，}b$は

$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}$

と定まる．点$\mathrm{X}(x,y,z)$が平面$\alpha$上にあることは，$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$（ただし，$\mathrm{O}$は原点）と$\overrightarrow{n}$が垂直であることと同値なので，この条件は

$x+\boxed{\text{サ}}y+\boxed{\text{シ}}z=\boxed{\text{ス}}$

と表現される．

　今，平面$\alpha$の上にない点$\mathrm{P}(-1,2,4)$をとり，平面$\alpha$に関して$\mathrm{P}$と対称な位置にある点を$\mathrm{Q}$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は$\overrightarrow{n}$の実数倍，すなわち$s\overrightarrow{n}(s\text{は実数})$と表されるが，この$s$は線分$\mathrm{PQ}$の中点が平面$\alpha$上にあることから$s=\boxed{\text{セ}}$と決まり，$\mathrm{Q}$の座標も，

$\mathrm{Q}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$

と決定される．

　次に$xz$平面と平行な平面$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$を${\alpha }^{\prime }$で表し，平面${\alpha }^{\prime }$に関して$\mathrm{Q}$と対称な位置にある点を$\mathrm{R}$とすると，その座標は

$\mathrm{R}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{チ}})$

と定まる．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は同一直線上にないので，これらを通る平面はただ$1$つある．これを${\alpha }^{″}$で表す．点$(x,y,z)$が平面${\alpha }^{″}$上にある条件は

$\boxed{\text{テ}}x+z=\boxed{\text{ト}}$

と表され，$3$つの平面$\alpha \text{，}{\alpha }^{\prime }\text{，}{\alpha }^{″}$の共有点${\mathrm{O}}^{\prime }$の座標は

${\mathrm{O}}^{\prime }(\boxed{\text{ナ}},{\displaystyle \frac{1}{2}},\boxed{\text{ニ}})$

と定まる．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はすべて${\mathrm{O}}^{\prime }$から等距離にあり，この距離$d$は

$d=\boxed{\text{ヌ}}$

と計算される．

【３】　行列$P\text{，}Q\text{，}E$を

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{，}Q=\left(\begin{array}{cc}a& d\\ b& e\\ c& f\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．ここで，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f$は正の実数，また，$s=a+b+c$とする．（ただし以下の$\boxed{}$に記入するときは，$s\text{，}a\text{，}b\text{，}c$の式，または実数を用いよ．）

(1)　条件A：$PQP=P$

が成り立つとき，$d+e+f=\boxed{\text{ネ}}$である．このとき行列$PQ$を$s$のみの式で表すと$PQ=\boxed{\text{ノ}}$となる．

(2)　条件Aに加えて，条件B：$QPQ=Q$

が成り立つとき，$d=\boxed{\text{ハ}}\text{，}e=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}f=\boxed{\text{フ}}$となる．

(3)　$P\text{，}Q$が条件A，条件Bを満たすとする．

列ベクトル$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$に対して，内積$(Q\overrightarrow{u})\cdot (Q\overrightarrow{u})$が最小になるのは，$a\text{，}b\text{，}c$の間に条件C：$\boxed{\text{ヘ}}$が成り立つときであり，最小値は$\boxed{\text{ホ}}$である．

　ただし，列ベクトルの内積を

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

のように定義する．

(4)　$P\text{，}Q$が条件A，条件Bを満たすとする．

　列ベクトル$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-1}\end{array}\right)$に対して，内積$\{(PQ-E)\overrightarrow{v}\}\cdot \{(PQ-E)\overrightarrow{v}\}$が最小になるのは，$s$に対して条件D：$\boxed{\text{マ}}$が成り立つときであり，最小値は$\boxed{\text{ミ}}$である．

(5)　条件A，B，C，Dがすべて成り立つとき，

$a=\boxed{\text{ム}}\text{，}b=\boxed{\text{メ}}\text{，}c=\boxed{\text{モ}}$

である．

【４】　図のような，一辺の長さが${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$以上$1$以下の正方形$\mathrm{OABC}$と，原点を中心とする半径$1$の円$K$とを考える．円$K$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$円$K$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，正方形の一辺の長さが${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のときは，$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{POQ}=\alpha (0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおくとき，正方形の一辺の長さは$\boxed{\text{ヤ}}$である．

　第$1$象限上で円$K$の内部にあって正方形$\mathrm{OABC}$の外部にある点のなす図形$S_1$と$S_2$の面積の和$f(\alpha )$は$\boxed{\text{ユ}}$となる．また，正方形$\mathrm{OABC}$の内部にあって円$K$の外部にある点のなす図形$T$の面積$g(\alpha )$は$\boxed{\text{ヨ}}$となる．

　$f(\alpha )=2g(\alpha )$となる$\alpha$の近似値は以下のようにして求められる．図形の意味から，$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(\alpha )$は単調に$\boxed{\text{ラ}}$し，$g(\alpha )$は単調に$\boxed{\text{リ}}$するので，$h(\alpha )=f(\alpha )-2g(\alpha )$は単調に$\boxed{\text{ル}}$する．$h(0)=\boxed{\text{レ}}，h\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\boxed{\text{ロ}}$より，$f(\alpha )=2g(\alpha )$を満たす$\alpha$が$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にただひとつ存在する．この$\alpha$は以下の数表より$\boxed{\text{ワ}}$を左端とする幅$0.1$の区間の中にあることがわかる．なお，円周率は$3.141\cdots$である．

（小数点第$4$位以下を切り捨て）