2006　立命館大　理系学部Ａ方式2月10日実施MathJax

【１】　実数$k$に対して直線

$L:y=kx+1$

を考える．$L$は$k$によらない定点${\mathrm{P}}_0(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$を通る．${\mathrm{P}}_0$と双曲線

$H:{\displaystyle \frac{x^2}{3}}-y^2=1$

上の点$(x,y)$との距離が最小になるのは$(x,y)=(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$または$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$となるときであり，そのときの距離は$\boxed{\text{キ}}$である．直線$L$が双曲線$H$に接するための$k$に対する条件は$\boxed{\text{ク}}$であり，直線$L$が双曲線$H$に接しないが，共有点を$1$個のみ持つための条件は$\boxed{\text{ケ}}$である．また直線$L$と双曲線$H$とが相異なる$2$つの共有点を持つための条件は$\boxed{\text{コ}}$である．$\boxed{\text{コ}}$が成り立っているとき，これら$2$つの共有点を結ぶ線分の中点の座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．この中点は，$k$が$\boxed{\text{コ}}$によって定義される範囲を動くとき，方程式$\boxed{\text{ス}}$によって定義される曲線の上を動く．この中点が${\mathrm{P}}_0$と一致するのは$k=\boxed{\text{セ}}$のときである．

【２】(1)　$\omega$は${\omega }^3=1$を満たす虚部が正の複素数とする．実数$a，b$に対して，$a\omega +{\displaystyle \frac{b}{\omega }}$は係数が実数の$2$次方程式

$x^2+\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}=0$

の解である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$は，$a，b$の多項式である．$a\omega +{\displaystyle \frac{b}{\omega }}$が実数となるのは$\boxed{\text{チ}}$のときに限る．

(2)　$p，q$を実数とする．$3$次方程式

$x^3-3px-q=0$

が実数でない解をもつとする．この解の$1$つは，$a>b$である実数$a，b$と上記の$\omega$を用いて$a\omega +{\displaystyle \frac{b}{\omega }}$と書ける．このとき，残りの$2$つの解は，$a，b$の式で表すと，$\boxed{\text{ツ}}\omega +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\omega }}$と$\boxed{\text{ト}}$である．また$p=\boxed{\text{ナ}}，q=\boxed{\text{ニ}}$である．これより$a^3，b^3$を$p，q$の式で求めると，

$a^3=\boxed{\text{ヌ}}，b^3=\boxed{\text{ネ}}$

となる．従って，この$3$次方程式が実数でない解をもつための$p，q$の条件は$\boxed{\text{ノ}}$である．

【３】　$x，y$を座標とする座標平面上で，次の方程式によって定義される楕円$E$と双曲線$H$を考える．

$E:{\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

$H:{\displaystyle \frac{x^2}{3}}-y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

　$E$と$H$は交わり，$H$は$E$の内部を$3$つの領域に分けるが，このうち原点$\mathrm{O}(0,0)$を含む領域の面積$S$を求めよう．

　$E$と$H$の交点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}$とすれば，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ハ}},\boxed{\text{ヒ}})$となる．$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称の位置にある点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$に至る双曲線$H$の弧と線分$\mathrm{PQ}$によって囲まれた領域の面積を$V$とすれば，$V$は，

$V=2{\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{フ}}}^{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}dx$

と表される．この積分の計算のため新しい変数$t$（ただし$t\geqq 1$）を

$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}(t^2+1)}{4t}}$

により導入すれば，${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=\boxed{\text{ヘ}}$となり，

$V={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}{\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{ホ}}}^{\boxed{\text{マ}}}}(\boxed{\text{ミ}})dt=\boxed{\text{ム}}$

と計算される．

　次に楕円$E$の内部のうち，$y$軸とそれに平行な直線$x=\boxed{\text{ハ}}$によってはさまれた部分の面積を$U$とすると

$U=6{\displaystyle {\int }_0^{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{x^2}{25}}}dx=\boxed{\text{メ}}$

と計算される．従って，求める面積$S$は

$S=2(U-V)=\boxed{\text{モ}}$

となる．

【４】　座標平面上に，図のような道路$\text{①}\text{〜}\text{㉔}$の組み合わせによる道路網がある．$x$軸に平行な道路の長さは$5\text{，}y$軸に平行な道路の長さは$3$である．各々の道路は矢印の方向に一方通行で，逆方向に移動することはできない．

　この道路網の上で，点$\mathrm{O}(0,0)$から点$\mathrm{A}(15,9)$まで移動する経路の数は全部で$\boxed{\text{ヤ}}$通りである．このうち，道路$\text{⑤}$を通る経路は$\boxed{\text{ユ}}$通り，道路$\text{⑥}$を通る経路は$\boxed{\text{ヨ}}$通りである．

　点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$に移動する人は，出発点および途中の交差点で$2$方向の道路に進入できる場合には，その点からみた点$\mathrm{A}$の方向に対する角度がより小さい方の道路に確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，角度がより大きい方の道路に確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で進入するものとする．たとえば，交差点$(10,3)$では道路$\text{⑦}$に確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，道路$\text{⑱}$に確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で進入する．

　点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$に移動する人の数が$729$人であるとする．このとき点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$まで，

経路：$\text{①}\to \text{⑤}\to \text{⑨}\to \text{㉒}\to \text{㉓}\to \text{㉔}$

で移動する人数の期待値は$\boxed{\text{ラ}}$であり，

経路：$\text{①}\to \text{⑯}\to \text{⑥}\to \text{⑳}\to \text{⑪}\to \text{㉔}$

で移動する人数の期待値は$\boxed{\text{リ}}$である．また，道路$\text{⑤}\text{，}\text{⑥}\text{，}\text{⑦}\text{，}\text{⑧}$を通行する人数の期待値はそれぞれ道路$\text{⑤}$：$\boxed{\text{ル}}$，道路$\text{⑥}$：$\boxed{\text{レ}}$，道路$\text{⑦}$：$\boxed{\text{ロ}}$，道路$\text{⑨}$：$\boxed{\text{ワ}}$である．