2006　関西大　工学部Ａ方式MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　$I={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{(a^2-x^2)}^3}}}dx$を$x=a\sin t$と置換して，$I$を$\tan t$を用いて表せ．ただし，$t$は${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}}$で考えてよい．

(2)　$I$を$x$で表せ．

(3)　$a>1$とする．曲線$y={\displaystyle \frac{a^4}{\sqrt{{(a^2-x^2)}^3}}}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$a$が$a>1$の範囲で変化するとき，$S(a)$の極値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,3,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(2,1,1)\text{，}\mathrm{D}(-1,0,0)$があるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の両方に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{n}$で$x$成分が正であるものを求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面$\pi$上の点$\mathrm{P}$は，媒介変数$s\text{，}t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と表される．$\mathrm{P}$が$\pi$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{DP}}\right|$の最小値を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　赤色のボールが$1$つ，白色のボールが$5$つ，合わせて$6$つのボールがあり，これらが横$1$列に並べてある．また，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードがある．これら$6$枚のカードから$2$枚を同時に取り出し，取り出したカードに書かれている数字が$i$と$j$であるときには，左から$i$番目のボールと左から$j$番目のボールを入れ替えて，取り出したカードはもとに戻すという操作を行う．赤いボールは最初左端にあった．この操作を$n$回行った後に，赤いボールが左端にある確率を$p_n$とする．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)(イ)　$1$度目に選ばれた$2$枚のカードに書かれている$2$つの数字と，$2$度目に選ばれた$2$枚のカードに書かれている$2$つの数字が同じである確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(ロ)　$p_1=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと，$p_n=\boxed{\text{③}}$となる．

(3)　$p_n$を$n$を用いて表すと，$p_n=\boxed{\text{④}}$となる．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(p_n-{\displaystyle \frac{1}{6}})=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\{\begin{array}{l}{({\log }_{2}x)}^3+{({\log }_{{\displaystyle \frac{1}{4}}}y)}^3=0\\ {\log }_2{x}^2+{\log }_2{y}^3=8\end{array}$を満たす正の数$x\text{，}y$は$x=\boxed{\text{①}}\text{，}y=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　異なる$6$個の球を$3$個，$2$個，$1$個の$3$組に分けて$3$人に$1$組ずつ与える方法は$\boxed{\text{③}}$通りある．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　実数$x$が$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=-18$を満たすとき，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　座標平面上に正三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{A}(-1,2)$とすると，頂点$\mathrm{B}$の座標は$\boxed{\text{⑤}}$または$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^{2x}}f(t)dt=x{e}^{-x}$を満たす連続関数$f(x)$は$\boxed{\text{⑦}}$である．