2006　関西大　商学部Ａ方式MathJax

【１】　座標平面上に，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$を頂点とする直角三角形$\mathrm{OAB}$があり，点$\mathrm{P}(x,y)$はこの三角形の辺上および内部を動く．

　このとき，次の(1)の$\boxed{}$をうめ，(2)と(3)に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{PAB}$の面積を$S$とし，$S$を$x\text{，}y$を用いて表すと

$S=\boxed{\text{①}}$

である．ただし，点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にあるときは，$S=0$と考える．

(2)　(1)で求めた$S$について，$S\geqq x^2$を満たすような点$\mathrm{P}$の存在範囲を解答欄$\text{②}$に図示せよ．

(3)　(2)で図示した領域の面積を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，直線$y=-\sqrt{3}x+1$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．$a$を正の数とし，直線$y=ax$と直線$y=-\sqrt{3}x+1$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{①}},0)$であり，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表すと$(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})$となる．

　また，$\angle \mathrm{OPQ}=\boxed{\text{④}}°$であるから，$▵\mathrm{OPQ}$の外接円の半径$R$を$a$を用いて表すと，

$R=\boxed{\text{⑤}}$

となる．$\angle \mathrm{OQP}=60°$のとき，$a$の値は$\boxed{\text{⑥}}$であり，そのときの$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　$a$を負の定数とする．$x$についての不等式

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}<a$

を満たす$x$の値の範囲を求めよ．