2006 関西大 工学部S方式

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2006 関西大学 工学部S方式

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 次の   をうめよ.

  sin4 x= (a sin3 x+b sinx )cos x を満たす定数 a b は, a= b= である.

(2)  sin4 x=k cos x 0 <x< π 2 を満たす解をもつような定数 k の存在する範囲を求めよ.

(3)  sin4 x= cosx 0 <x< π2 2 つの解 α β α<β をもっている.このとき, sinα sin β の値を求めよ.また, 0 β (sin 4 x-cos x) dx の値を求めよ.

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2月5日実施

易□ 並□ 難□

【2】 一辺の長さが 1 である正四面体 OABC AB 2 :3 に内分する点を P BC の中点を Q OQ k :(1 -k) 0<k <1 に内分する点を R とし, OA =a OB = b OC =c とする.

(1) 次の   をうめよ.

  PR =l a +m b +n c とおくと, l= であり, m n k を用いて表すと, m= n = である.また, a b の内積は a b = である.

(2)  PR OQ の内積を k を用いて表し, PR OQ が垂直に交わるときの k の値を求めよ.

(3)  k が(2)で求めた値をとるとき, PR の長さおよび PQR の面積を求めよ.

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【3】  3 個のさいころを同時に投げる.出た目を長さにする 3 本の線分について,次の   をうめよ.

(1)  3 本の線分を 3 辺とする正三角形が存在する確率は である.

(2)  3 本の線分を 3 辺とする直角三角形が存在する確率は である.

(3)  3 本の線分の長さを a b c とし,その中で a が最大であるとする.この 3 本の線分を 3 辺とする三角形が存在するための必要十分条件を a b c で表すと, a< である.このとき,この三角形で長さが a である辺の対角を θ とすると, θ はこの三角形の最大の角になり, cos θ a b c により cos θ= と表される.よって,この三角形が鈍角三角形になるための必要十分条件を a b c で表すと, である.したがって,最大辺の長さが 6 になる鈍角三角形が存在する確率は である.また,最大辺の長さが 4 以下になる鈍角三角形が存在する確率は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  x 1 x 128 の範囲を動くとき, ( log4 x )2 -log 2 x2+ 3 の最大値は 最小値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  i は虚数単位,すなわち i 2=- 1 とする.実数係数の 3 次方程式 x3+ ax +b= 0 1 つの解が 1 +i である.このとき,実数解は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)  sin15 °-cos 15° sin 75°+ cos75 ° の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  A=( 3 1 6 4 ) に対し, B=A -E E は単位行列)とおく. B2 =c B A3= E+d B を満たす定数 c d の値は c = d = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5) 曲線 y= 1-x 2+x x 軸および 2 直線 x =-1 x= 2 で囲まれた 2 つの部分の面積の和は である.