2006　関西大　総合情報学部Ｓ方式MathJax

【１】　次の等式を満たす整数$x，y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$x^3+x^2-1=y(x-1)$

【２】　$a$は正の定数とし，$p$は正の数とする．

(1)　放物線$y=a{x}^2$上の点$\mathrm{P}(p,a{p}^2)$における接線を$l_1$とする．$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，$l_1$と垂直な直線を$l_2$とする．$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　$l_2$と$y=a{x}^2$で囲まれる領域の面積$S$を求めよ．

(4)　$p$が$p\geqq 0$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$p$の値を求めよ．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$として，次の条件が成立している．

$\mathrm{AD}=1，\mathrm{AB}=2，\mathrm{BE}=\mathrm{ED}，\angle \mathrm{BAD}=120°$

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　

$\mathrm{ED}=\boxed{\text{①}}，\cos \angle \mathrm{ADB}=\boxed{\text{②}}$

$\mathrm{AE}=\boxed{\text{③}}，\mathrm{BC}=\boxed{\text{④}}$

$\mathrm{CD}=\boxed{\text{⑤}}，\angle \mathrm{ABD}\text{の面積}=\boxed{\text{⑥}}$

$▵\mathrm{BCD}\text{の面積}=\boxed{\text{⑦}}$

(2)　

${\displaystyle \frac{\text{四角形}\mathrm{ABCD}\text{の面積}}{\text{外接円の面積}}}=\boxed{\text{⑧}}$

【４】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)$から出発して，点$\mathrm{P}(4,4)$に向けて$x$軸の正の方向または$y$軸の正の方向に，$1$だけ進むことを次々に行って得られる経路を最短路という．

　右図は，原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{P}$への最短路の$1$つの例である．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$への最短路は$\boxed{\text{①}}$個ある．

　このうち，点$(4,0)$を通るものは$\boxed{\text{②}}$個ある．

　点$(4,1)$を通り，点$(4,0)$を通らぬものは$\boxed{\text{③}}$個ある．

　点$(4,2)$を通り，点$(4,1)$を通らぬものは$\boxed{\text{④}}$個ある．

　点$(4,3)$を通り，点$(4,2)$を通らぬものは$\boxed{\text{⑤}}$個ある．

(2)　$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$に向かって（最短路になるように）進むとき，交差点（$x，y$がともに整数である点$(x,y)（0\leqq x<4，0\leqq y<4）$では，$x$軸の正の方向に進むか，$y$軸の正の方向に進むかを，${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつの確率で選択することとする．

　このとき，

点$(4,0)$を通る経路が選ばれる確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．

点$(4,1)$を通り，点$(4,0)$を通らぬ経路が選ばれる確率は$\boxed{\text{⑦}}$である．

点$(4,2)$を通り，点$(4,1)$を通らぬ経路が選ばれる確率は$\boxed{\text{⑧}}$である．

点$(4,3)$を通り，点$(4,2)$を通らぬ経路が選ばれる確率は$\boxed{\text{⑨}}$である．

最短路と直線$x=4$との共通部分の長さの期待値は$\boxed{\text{⑩}}$である．