2006　関西大　総合情報学部Ａ方式MathJax

【１】　次の不等式で定義される$xy$平面上の領域を$D$とする．

$x^2+x+y^2-|x|-2|y|\leqq 0$

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積$S\text{，}$および$D$の周の長さ$l$を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)\text{，}\mathrm{C}(p,p^2)$をとる．ただし，$-1<p<2$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積の最大値$S_1\text{，}$およびそのときの$p$の値を求めよ．

(2)　放物線$y=x^2$と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線で囲まれた領域の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$2$つの定点$\mathrm{A}(-1,-2)\text{，}\mathrm{B}(3,0)$がある．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の座標は$\boxed{\text{①}}$である．$\mathrm{M}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$l$とする．$l$の方程式は$y=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標は正で，かつ$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=5$とする．$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　$▵\mathrm{APB}$の外接円と直線$l$の交点を$\mathrm{Q}\text{（}\ne \mathrm{P}\text{）}$とする．$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．

(4)　$\sin \angle \mathrm{APQ}=\boxed{\text{⑤}}\text{，}\cos \angle \mathrm{APQ}=\boxed{\text{⑥}}$である．

$\sin \angle \mathrm{APB}=\boxed{\text{⑦}}\text{，}\cos \angle \mathrm{AQB}=\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　サイコロを$2$回投げて，$1$回めに出た目を$b\text{，}2$回めに出た目を$c$として，$2$つの$2$次方程式(ア)，(イ)を考える．

• (ア)　$x^2+bx+c=0$
• (イ)　$x^2+cx+b=0$

　次の$\boxed{}$を既約分数でうめよ．ただし，既約分数とは分母と分子が共通因数をもたないように約分された形の分数のことである．

(1)　(ア)が重解をもつ確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　(ア)が虚数解をもつ確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　(ア)が異なる$2$つの実数解をもつ確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　(ア)，(イ)がともに重解をもつ確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　(ア)も(イ)も虚数解をもつ確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(6)　(ア)も(イ)も異なる$2$つの実数解をもつ確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．

(7)　(ア)が虚数解をもち，かつ(イ)が異なる$2$つの実数解をもつ確率は$\boxed{\text{⑦}}$である．