2006　関西学院大　理工学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{BE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくと，

$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{（ア）}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{（イ）}}\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\boxed{\text{（ウ）}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{（エ）}}\overrightarrow{d}$

が成り立つ．また，直線$\mathrm{FG}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{（オ）}}\overrightarrow{b}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1<t<e$を満たす変数$t$について，$xy$平面上の$4$点$(1,0)，(e,0)，(e,1)，(t,\log t)$を頂点とする四角形の面積$S$は，$\boxed{\text{（カ）}}$である．$t$が$1<t<e$の範囲で動くとき，$S$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{（キ）}}<S\leqq \boxed{\text{（ク）}}$である．ただし，$\log t$は$t$の自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

【２】　$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,0)，\mathrm{A}(0,1)，\mathrm{B}(1,1)，\mathrm{C}(0,1)$を頂点とする正方形があり，$\mathrm{O}$におもちゃの電車が置いてある．正方形の周と頂点をそれぞれ線路と駅に見立て，電車を反時計回りに走らせて遊びたい．

　次の試行を考える．箱の中に$0，1，2$と書かれたくじが$1$本ずつ入っている．くじを$1$回に$1$本引いて，$0$が当たったら電車は動かさない．$1$が当たったら$1$駅分，$2$が当たったら$2$駅分走らせる（途中の駅は停車せずに通過するものとみなす）．なお，引いたくじはそのたびに箱に戻す．次の問いに答えよ．

(1)　この試行を$4$回繰り返すとき，電車が全く動かない確率を求めよ．

(2)　この試行を$4$回繰り返すとき，電車が正方形を$2$周して$\mathrm{O}$に戻る確率を求めよ．

(3)　この試行を$4$回繰り返すとき，$\mathrm{A}，\mathrm{C}$に停車せずに$1$周して$\mathrm{O}$に戻る確率を求めよ．

(4)　この試行を$4$回繰り返すとき，$4$回の試行後に電車が$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

(5)　この試行を最大$4$回まで繰り返す．ただし，電車が$1$周して$\mathrm{O}$に戻ったらそこで試行を修了するものとする．くじを引く回数の期待値を求めよ．

【３】　$f(x)=e^x\sin x，g(x)=e^x\cos x$（$e$は自然対数の底）とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$と${\displaystyle \int }g(x)dx$を求めよ．

(2)　部分積分法を利用して不定積分${\displaystyle \int }xf(x)dx$を求めよ．

(3)　曲線$y=xf(x)(0\leqq x\leqq \pi )$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$と$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$で囲まれる部分を$y$軸の周りに回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，\cdots$は$k$が$k$個（$k=1，2，3，\cdots$）ずつ続く数列である．この数列の第$n$項を$a_n$と表す．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n=k$となるような$n$の範囲を$k$を用いて表し，$a_{100}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{a}_n$の値を求めよ．

(3)　初項から第$100$項$a_{100}$までの間に，偶数が何個現れるか答えよ．ただし，同じ数が繰り返し現れる場合は重複して数える．例えば，初項から第$8$項までの間には偶数が$4$個現れる．

(4)　上の(1)で求めた不等式を用いて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{n}}}$を求めよ．