2006　西南学院大学　経済，国際文化学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　方程式$|{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-4x+6|=-x+6$のすべての解の和は$\boxed{\text{アイ}}$であり，もう$1$つの方程式$|-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2x-2|=|{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-4x+6|$のすべての解の和は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，これらの方程式に共通する解は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

2.　$1$から$4$までの数字が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ袋に入っている．この袋からカードを$1$枚ずつ取り出し，数字で記録してからもとに戻す試行を$3$回繰り返す．このとき，記録された数字を順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．$X\leqq Y\text{，}X\leqq Y\leqq Z$となる確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．また，$X\text{，}Y\text{，}Z$の最大値が$2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$であり，$X\text{，}Y\text{，}Z$の最大値の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

【２】

1.　$\overrightarrow{a}=(1,2,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(-1,2,0)\text{，}\overrightarrow{c}=(-1,6,x)\text{，}\overrightarrow{d}=(l,m,n)$とする．ただし，$\overrightarrow{d}$は$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$のどれにも直交する単位ベクトルで$lmn>0$である．

(1)　このとき$l={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}}\text{，}m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}}$である．

(2)　$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{ヌネ}}$である．

【２】

2.　${25}^x=3^y=4^3$とする．このとき，

${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}{\log }_{2}5+\frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}{\log }_2\boxed{\text{ヒ}}}$

である．

　また，$x\text{，}y\text{，}{\displaystyle \frac{y}{x}}$を大きい順に並べると，$x$が$\boxed{\text{フ}}$番目で，${\displaystyle \frac{y}{x}}$が$\boxed{\text{ヘ}}$番目である．

【３】　$a$を自然数の定数とする．$x$の$3$次関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$が$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-a$と表され，

$f^{\prime }(1)=f(-1)\text{，}{\displaystyle {\int }_0^a}{f}^{\prime }(x)dx=2a-1$

を満たす．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$-2\leqq x\leqq 1$とする．$y=f(x)$のグラフの概形をかき，$f(x)=f^{\prime }(x)$となるときの$f^{\prime }(x)$の値を求めよ．