2006　西南学院大学　神，商，人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$2$次方程式$x^2-2\sqrt{2}x+8=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta }}=\boxed{\text{アイ}}\text{，}{\alpha }^3-{\beta }^3=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{\displaystyle \frac{{\alpha }^4+{\beta }^4}{{\alpha }^2+{\beta }^2}}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

2.　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする．

$(x+a)x^2+(x+b){(x+1)}^2+(x+c){(x+2)}^2$

を$x+1$で割ると$2$余り，${(x+2)}^2$で割ると$7x+15$余る．このとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カキ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】

1.　初項$200\text{，}$公差$-6$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．$S_n$の最大値は$\boxed{\text{ケコサシ}}$で，そのときの$n$の値は$n=\boxed{\text{スセ}}$である．$S_n$が初めて負になるときの$S_n$の値は$-\boxed{\text{ソタ}}$で，そのときの$n$の値は$n=\boxed{\text{チツ}}$である．

【２】

2.　$a$を定数とし，$y$軸上にある点$\mathrm{P}$を通り，放物線$C:y=-x^2+a$と接する$2$つの直線のうち傾きが正の方を$l_1\text{，}$他方を$l_2$とする．$2$つの直線$l_1\text{，}{l}_2$と$x$軸が正三角形を作るとする．

(1)　直線$l_1$を表す方程式は$y=\sqrt{\boxed{\text{テ}}}x+a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．また，直線$l_1$と放物線$C$との接点の座標は${\displaystyle (-\frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}},a-\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}})}$である．

(2)　正三角形が$y\leqq 0$の領域にあるための$a$の値の条件は${\displaystyle a<-\frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

【３】　円すいのなかで，頂点から底面の円に下ろした垂線が円の中心を通るものを直円すいという．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　直円すいの頂点と底面の円周が，半径$r$の球の球面上にある．直円すいの頂点から，直円すいの底面の円の中心までの距離を$x$とおくとき，直円すいの体積を$r$と$x$で表せ．

(2)　半径$r$の球に内接する直円すいの体積の最大値を求めよ．