2007 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2007 大学入試センター試験 本試

数学I

[2]とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1](1)  2 次方程式

8x 214 x+3 =0

の解は

x=

である.ただし, の解答の順序は問わない.

(2) 連立方程式

{ 8x 214 x+3 <0 x2 +1> (x 3)2

の解は

< x<

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学I

[1]とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 方程式

|x+ 4| +|x 1|= x2+ 14

を考える.

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 2 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

 方程式

x<−4 の範囲では

−4x <1 の範囲では

1x の範囲では

0  解をもたない

1 1 個の解をもつ

2 2 個の解をもつ

(2) 方程式 の解は

x= シス セソ +

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を定数とし, x 2 次関数

y=x2 2( a1) x+2 a2 8 a+4

のグラフを G とする.

(1) グラフ G が表す放物線の頂点の座標は

(a , a2 a+ )

である.グラフ G x 軸と異なる 2 点で交わるのは

<a< +

のときである.さらに,この二つの交点がともに x 軸の負の部分にあるのは

<a <

のときである.

(2) グラフ G が表す放物線の頂点の x 座標が 3 以上 7 以下の範囲にあるとする.

 このとき, a の値の範囲は

a

であり, 2 次関数 3x 7 における最大値 M

a のとき

M= a2 セソ a + タチ

a のとき

M= a2 テト a + ナニ

である.

 したがって, 2 次関数 3 x 7 における最小値が 6 であるならば

a= +

 であり,最大値 M

M= ハヒ

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学I

数学IA【3】の類題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=4 BC=5 CA= 21 とする.

(1) このとき, ABC= アイ ° である.

(2) 点 D は直線 AC に関して点 B と反対側にあり, ADC= 120° であるとする.

  ABD の面積を S1 BCD の面積を S 2 とするとき

S 1S2 =2 5

であるとする. BAD+ BCD= ウエオ ° であるから

AD= CD

となる.このとき

AD=

であり, ACD の面積は である.

(3)  ABC の外接円の中心を O とする.円 O の半径は である.

  ABC を底面とする三角 すい PABC において, PO は点 P から底面 ABC に下ろした垂線であるとする.

  tan PAO=3 であるとき

PO=

であり,三角錐 PABC の体積は タチ である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学I

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b を定数とし, x についての整式

A=x3 +(a+ 1)x 2( 5a2 3) x+7 a−1

B=x2 2a xa +1

C=x +b

を考える.

 整式 A B C を展開して x について整理するとき

x2 の係数を p x の係数を q 定数項を r

とする.このとき

p= ab +

である.

 ここで, p=0 であるとする.

このとき, x の係数 q

q=a2 + a+

= (a+ ) (a + )

となる.ただし, の解答の順序は問わない.

 また,定数 r

r= a 2+ a

= ( a ) (a+ )

となる.

 さらに, p=0 q=0 r=0 ならば

a= スセ b= ソタ

である.このとき,整式 A

A=(x + ) (x + ) (x )

となる.ただし, の解答の順序は問わない.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IA

[2]とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 方程式

2( x2) 2=| 3x 5|

を考える.

(1) 方程式 の解のうち, x< 53 を満たす解は

x=

である.

(2) 方程式 の解は全部で 個ある.その解のうちで最大のものを a とすると, ma< m+1 を満たす m である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IA

[1]とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 集合 A B

  • A= {n |n 10 で割り切れる自然数 }
  • B= {n |n 4 で割り切れる自然数 }

とする.

(1) 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.

  • 自然数 n A に属することは, n 2 で割り切れるための
  • 自然数 n B に属することは, n 20 で割り切れるための

  0  必要十分条件である

  1  必要条件であるが,十分条件でない

  2  十分条件であるが,必要条件でない

  3  必要条件でも十分条件でもない

(2) 次の に当てはまるものを,下の 0 7 のうちから一つずつ選べ.

C= {n | n 10 4 のいずれでも割り切れる自然数 }

D= {n | n 10でも 4 でも割り切れない自然数 }

E= {n | n 20 で割り切れない自然数 }

とする.自然数全体の集合を全体集合とし,その部分集合 G の補集合を G で表すとき

C= D = E=

である.

0 A B 1 A B 2 A B 3 A B
4 A B 5 A B 6 A B 7 A B

2007 大学入試センター試験 本試

数学IA

数学I【3】の類題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=2 BC=5 +1 CA =22 とする.また, ABC の外接円の中心を O とする.

(1) このとき, ABC= アイ ° であり,外接円 O の半径は

である.

(2) 円 O の円周上に点 D を,直線 AC に関して点 B と反対側の弧の上にとる. ABD の面積を S1 BCD の面積を S 2 とするとき

S 1S2 = 5 1

であるとする. BAD+ BCD= カキク ° であるから

CD= AD

となる.このとき

CD= スセ

である.

 さらに, 2 AD BC の延長の交点を E とし, ABE の面積を S3 CDE の面積を S4 とする.このとき

S 3S4 =

である. より

S 2S4 =

となる.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  1 辺の長さ 1 の正六角形があり,その頂点の一つを A とする.一つのさいころを 3 回投げ,点 P を次の(a),(b),(c)にしたがって,この正六角形の辺上を反時計回りに進める.

(a) 頂点 A から出発して, 1 回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める.

(b)  1 回目で点 P がとまった位置から出発して, 2 回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める.

(c)  2 回目で点 P がとまった位置から出発して, 3 回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める.

(1)  3 回進めたとき,点 P が正六角形の辺上を 1 周して,ちょうど頂点 A に到達する目の出方は アイ 通りである.

  3 回進める間に,点 P 1 回も頂点 A にとまらない目の出方は ウエオ 通りである.

(2)  3 回進める間に,点 P 3 回とも頂点  A にとまる確率は キクケ であり,ちょうど 2 回だけ頂点 A にとまる確率は サシ である.

  3 回進める間に,点 P がちょうど 1 回だけ頂点 A にとまる確率は スセ ソタ である.

(3)  3 回進める間に,点 P が頂点 A にとまる回数の期待値は 回である.

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