2007 大学入試センター試験 本試験 数学II/数学IIBMathJax

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2007 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

[2]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 不等式

sin2 x>2 cos (x+ π4) + 12

を満たす xの範囲を求めよう.ただし, 0x< 2π とする.

  a=sin x b=cos x とおくと,与えられた不等式は

a b+ a b 1>0

となる.左辺の因数分解を利用して xの範囲を求めると

π < x< π または π<x < π

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

[1]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 不等式

2+logy 3< logy 81+2 logy (1 x2 )

の表す領域を求めよう.

  y y は対数の底であるから y> y である.真数は正であるから x < である.ただし,対数 loga b に対し, aを底といい, bを真数という.

 また

logy 3= log3 y logy 81= log3 y

であるから,与えられた不等式は

1< log3y + log3 (1 x 2) log3 y

となる.よって

y> のとき,log 3 y<log 3{ (1 x2) }
<y < のとき,log 3 y>log 3 { (1 x2) }

となる.

 求める領域を図示すると,次の図 の影をつけた部分となる.ただし,境界(境界線)は含まない. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1 2 3
select-option 0 select-option 1 select-option 2 select-option 4

2007 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a>0 として, xの関数 f(x ) g(x )

とする.

(1) 二つの関数の差 g(x )f (x)

g(x )f (x )= a( アイ x 2+ ax a2 + )

と表され, x の方程式 g(x )f (x)= 0 が異なる二つの実数解をもつような aの範囲は

0<a <

である.

 また, g(x )f (x) x= のとき,最大値

a ( コサ a )

をとる.

(2) (1)で得られた最大値を

h(a )= a ( コサ a )

と表す. h(a ) a の関数と考えるとき, h(a ) a= で最大値 をとる.

(3)  a=3 のとき,曲線 y=f (x) と曲線 y=g (x) の二つの交点 P Q の座標は

P ( ,0 ) Q ( , )

であり,二つの曲線 y=f (x ) y=g (x ) で囲まれた部分の面積 S

S=

である.

 さらに,交点 P ( ,0 ) における曲線 y=f (x ) の接線と曲線 y=g (x ) の接線がなす角を θ (0 θ< π2 ) とすると

tanθ =

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  aは実数で, a>0 a2 とし,点 A ( a,1) を中心とする半径 1 の円を C とする.また,点 P ( 2,0 ) を通り円 C に接する直線のうち x 軸でないものを l1 とし,点 Q( −2,0 ) を通り円 C に接する直線のうち x 軸でないものを l 2 とする. l1 l 2 が垂直であるときの a の値を求めよう.

 円 C の方程式は

(x ) 2+ (y + ) 2=

である.

 直線 l 1 l2 の傾きをそれぞれ b c とすると,それらの方程式は

l1: y= ( x )

l2: y= ( x+ )

と表される.また, l1 l 2 が垂直であるから

bc = ケコ

である.

 直線 l1 は円 C に接することから

(a ) (a ) = 2(a )

が成り立つ.( は解答の順序を問わない.)

 同様に,直線 l2 が円 C に接することから

( a+ ) (a + ) =2 ( a+ )

が成り立つ.( は解答の順序を問わない.)

 したがって b c= クケ より

a=

である.

 このとき, l1 l2 の交点を R とすると,円 C と三角形 PQR について, に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

2007 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b を実数とし, a0 とする. x の整式 P (x )

P( x) =x3 +b x2+ (2b 3) xa

とし, P(a )=0 が成り立つとする.

(1)  P(a )=0 より, a b の間には関係式

a2 + a + イウ = 0

が成り立つ.したがって, a= または a = キク である.

(2)  a= のとき, 3 次方程式 P(x )=0 a b の値によらない解 x= ケコ をもつ.

(3)  a= キク とする.このとき, P(x ) を因数分解すると

P(x )= (x + ) ×{x 2+ ( ) x+ }

となる.

  3次方程式 P(x )=0 が虚数解をもつような b の範囲は

<b <

である.このとき,一つの虚数解が c+ 35 i c は実数)ならば, c の値は または である.

 方程式 P(x )=0 の解がすべて実数であるような b の範囲は, b または b である.このとき,三つの解の和が 4 3 ならば,それらの解は テト である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 三つの数列 { an} {b n} {cn } がある.

(1) 数列 { an } は,初項が −27 で,漸化式

an+ 1=3 an +60 ( n=1 2 3 )

を満たすとする.このとき

an= n イウ

である.数列 {a n} の初項から第 n 項までの和 Sn

Sn = ( n ) イウ n

である.また, Sn> 0 となる最小の自然数 n である.

(2) 第 n 項が 2bn +cn で与えられる数列 { 2 bn+ cn } は,初項が 0 で公差が d の等差数列になり,第 n 項が b n 2c n で与えられる数列 {bn 2 cn } は,初項が x で公比が r の等比数列になるとする.このとき bn+ cn

bn+ cn= d (n 1) x rr 1

と表される.

(3) 数列 {a n} {b n} {cn } は(1),(2)を満たすとする.さらに,第 n 項が b n+ cn で与えられる数列 { bn +cn } の階差数列は,数列 { an } であるとする.このとき

an= d+ x (1 r) rn 1

であるから,(1)より

r= x= セソタ d= ツテト

である.したがって,数列 { bn } { cn } の第 n 項は,それぞれ

bn= n ヌネ ( n 1)

c n= n ハヒ ( n 1)

である.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 点 O を原点とする座標空間に 4 A( 1,0 ,0) B (0,1 ,1) C ( 1,0, 1) D (−2, −1,−2 ) がある. 0<a< 1 とし,線分 AB a:(1 a ) に内分する点を E ,線分 CD a:(1 a) に内分する点を F とする.

(1)  EF a を用いて

EF =( アイ a , ウエ a , a)

と表される.さらに, EF AB に垂直であるのは a = のときである.

(2)  a= とする. 0<b< 1 として,線分 EF b: (1 b) に内分する点を G とすると, OG b を用いて

OG =( b , b , )

と表される.

(3) (2)において,直線 OG と直線 BC が交わるときの b の値と,その交点 H の座標を求めよう.

 点 H は直線 BC 上にあるから,実数 s を用いて BH =s BC と表される.また,ベクトル OH は実数 t を用いて OH =tOG と表される.よって

b = s= t=

である.したがって,点 H の座標は

( , ニヌ , )

である.また,点 H は線分 BC :1 に外分する.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 下の表は, P 高校のあるクラス 20 人について,数学と国語のテストの得点をまとめたものである.数学の得点を変量 x 国語の得点を変量 y で表し, x y の平均値をそれぞれ x y で表す.ただし,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

生徒番号 x y xx ( x x ) 2 yy ( y y ) 2 (x x ) (y y )
1 62 63 3.0 9.0 2.0 4.0 6.0
2 56 63 −3.0 9.0 2.0 4.0 −6.0
3 58 58 −1.0 1.0 −3.0 9.0 3.0
18 54 62 −5.0 25.0 1.0 1.0 −5.0
19 58 60 −1.0 1.0 −1.0 1.0 1.0
20 57 63 −2.0 4.0 2.0 4.0 −4.0
合計A 1220 0.0 1544.0 0.0 516.0 −748.0
平均 B 61.0 0.0 77.2 0.0 25.8 −37.4
中央値 57.5 62.0 −1.5 30.5 1.0 9.0 −14.0

 以下,小数の形で解答する場合は,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 生徒番号 1 の生徒の xx の値が 3.0 であることに着目すると,表中の B の値は アイ . であり, A の値は エオカキ である.

(2) 変量 x の分散は クケ . である.

(3)  z=x+ y とおくと,この場合の変量 z の平均量 z サシス . である.また,変量 z の分散は

(z z ) 2= (x x ) 2+ (y+ y ) 2+2 (x x ) (y y )

の平均であるから

(zの分散 ) { ( xの分散 )+ (y の分散) }

が成り立つ.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

0 > 1 = 2 <

(4) 変量 x と変量 y の相関図(散布図)として適切なものは,相関関係,平均値,中央値に注意すると, である.ただし,相関図(散布図)中の点は,度数 1 を表す. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
select-option1 select-option2
2 3
select-option3 select-option4
階級 P高校 Q高校
以上 以下

3539
0 5
4044 0 5
4549 3 0
5054 4 0
5559 6 0
6064 3 10
6569 1 2
7074 0 2
7579 3 1
20 25

 さらに, P 高校の 20 人の数学の得点と Q 高校のあるクラス 25 人の数学の得点を比較するために,それぞれの度数分布表を作ったところ,右のようになった.

(5) 二つの高校の得点の中央値については, に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0   P高校の方が大きい

1   Q高校の方が大きい

2   P高校と Q高校で等しい

3  与えられた情報からはその大小を判定できない

(6) 度数分布表からわかる Q 高校の得点の平均値のとり得る範囲は ツテ . 以上 ナニ . 以下である.また,(1)より P 高校の得点の平均値は アイ . であるから,二つの高校の得点の平均値については, ただし, については,当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 P 高校の方が大きい

1 Q高校の方が大きい

2 P高校と Q高校で等しい

3 与えられた情報からはその大小を判定できない

(7) 次の記述のうち,誤っているもの である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 40点未満の生徒の割合は, Q高校の方が大きい.

1 54点以下の生徒の割合は, Q高校の方が大きい.

2 65点以上の生徒の割合は, Q高校の方が大きい.

3 70点以上の生徒の割合は, P高校の方が大きい.

2007 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 二分法を用いて 5 3 乗根の近似値を計算するために,次の〔プログラム1〕を作った.

 以下,小数の形で解答する場合は,指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 変数 N に 3 を入力したとき,出力される変数 A の値は . イウ であり,変数 B の値は . オカ である.

(2) 変数 N に 5 を入力したとき,出力される変数 A と変数 B の値の差 B-A は . クケコサ である.

(3) 出力される変数 A と変数 B の値の差 B-A が 0.001 以下になるようにしたい.変数 N に入力すべき整数のうち,最小のものは シス である.

(4)  2次方程式 x 2 2x 4=0 の大きい方の解の近似値を求めるために,〔プログラム1〕の 150 行を

150 LET D=C*C-2:C-4

のように変更し,さらに 100 行と 110 行を のように変更した〔プログラム2〕を作った. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.



(5) (4)の〔プログラム2〕を変更して, 2次方程式 x2 2x 4=0 の小さい方の解の近似値を求める.まず,〔プログラム2〕の 100 行と 110 行を

のように変更し,さらに 150 行から 170 行に変更を加えることを考える.次の変更のうち,N に入力する値を大きくしても A ,B の値が解に近づかないもの である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

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