2007 大学入試センター試験 追試験 数学II/数学IIBMathJax

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2007 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

[2]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  p q は実数で, p>0 p 1 とする. x の方程式

5 px 1px =q (p x+ 1px )

を考える.

(1) 与えられた方程式が解をもつような q の範囲を求めよう.

 与えられた方程式を変形すると

p x ( q)= +q

となる.この方程式が解をもつのは q + q が同符号のときであるから,求める範囲は

エオ <q <

である.

(2)  p=3 q= 1 2 のとき, px= であるから x = ケコ である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

[1]とあわせて配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 座標平面上の原点 O を中心とし,半径 2 の円を S とする.円 S 上の 2 A B

A(2 cos θ,2 sin θ) B( 2cos ( θ+2 3π ), 2sin (θ +23 π) )

とする.ただし, 0<θ < π2 とする.

 円 S 上の点 A B における接線をそれぞれ l m とし, l m の交点を C とする.

(1) 線分 OC の長さは であり,点 C の座標は

( cos( θ+ π ), sin (θ +π ) )

である.

(2) 線分 AC の中点を P とし,直線 l x 軸の交点を Q とする.点 P の座標は

( cos θ sinθ , sin θ+ cosθ )

と表される.

 三角形 OAC の面積が三角形 OQA の面積の 2 倍になるとき,点 P の座標は

( , トナ )

である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とし, x の関数 f (x )

f(x )=( x +1) {x 2 (3 a2 )x+ 2a (a 1) }

とする.

(1) 座標平面上の点 P (−1 ,0) における曲線 y= f (x ) の接線 l の方程式は

y=( a2 +a ) (x+1 )

である.

  x の関数 g (x )

g(x )= ( a2+ a ) (x+1 )f (x)

とすると, g( x) の極大値は

である.

(2) 曲線 y= f(x ) x 軸との共有点の座標は

(−1, 0) ( ,0 ) ( クケ ,0 )

である.以下では,これらの共有点は異なる 3 点であるとする.

  x 軸上において,点 (−1 ,0) が他の二つの点の間にあるような a の範囲は

サシ <a <

である.

 また,点 ( ,0 ) と点 P (−1 ,0) を通り, P における接線が l となるような放物線の方程式を y= h(x ) とすると

h(x )= ( タチ ) ( x+1 ) (x )

である.さらに,定積分

I= −10 h (x) dx

の値は

I= ( タチ ) ( トナ + )

である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】(1)  a a> 2 を満たす定数とし,座標平面上に点 A (a, a) をとる.正の実数 p に対し,点 A と点 P (p , 4 p ) の距離を AP とする. p p >0 の範囲を動くとき, AP2 の最小値を求めよう.

  t=p+ 4 p とおく. p>0 から, t のとり得る値の範囲は t であり, p= のとき t = である.また, AP2 t a で表すと

AP2= t2 a t + ( a2 )

となる.

 したがって, 2<a ならば, AP 2 t = のとき最小値 a 2 a+ をとる.また, a> ならば, AP 2 t = のとき最小値 a 2 をとる.

(2)  a> とする.

 (1)において t = を満たす p の値を p 1 p 2 (ただし, p1 p2 とすると

p1+ p2 = p1 p 2=

である. 2 P1 ( p1 , 4p 1 ) P2 ( p2 , 4p 2 ) を通る直線の傾きは ソタ であり,線分 P 1P2 の中点の座標は

( , )

である.

 原点 O および 2 P 1 P 2 を通る円の半径は

( a2 ) ヌネ

である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b を実数とし, a0 とする. x の整式 P (x ) Q(x )

とする.

(1)  x の方程式 P (x) Q(x )=0 の解は

x= アイ または x= ウエ

である. x の方程式 P ( x) =0 x = アイ を解にもつとき, b a を用いて

b= a

と表される.

(2)  b= a とする.このとき, P( x) Q (x ) を因数分解すると

P(x )= (x + ) (x 2+ a x+ a )

Q(x )= (x + ) (x 2+ a x+ a )

となる.したがって,二つの方程式 P (x)= 0 Q (x)= 0 がともに虚数解をもつような a の値の範囲は

< a< +

である.

  a の値がこの範囲にあるとき, P( x) の二つの虚数解を α β とおく. Q( x)= 0 α+ 3β 2 3 α+β 2 を解にもつとき, a= である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  {an } を初項 a 公差 d の等差数列とし, {bn } を初項 a 公比 r の等比数列とする.ただし, a0 r 1 とする.

(1)  a 5= b2 とすると

d= a (r )

である.さらに, a17 =b3 とすると

r= d= a

となる.このとき, am =bn となる m n を用いて

m= n1

と表される.

(2)  cn = n1 とおく.このとき,数列 { cn } は漸化式

cn+ 1= cn+ n=1 2 3

を満たす. p を実数とし, p0 とする.数列 {d n}

dn= pc n2 + cn +

により定めるとき, {d n} の階差数列が等比数列であるとする.このとき

p=

である.また,数列 {d n} の初項から第 n 項までの和 Sn

Sn = ( n )+ n

である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 三角形 ABC 3 辺の長さがそれぞれ AB =3 BC =a CA =6 であるとする.点 P

aPA + 6PB + 3PC = 0

を満たすとする.また, AB =x AC =y とおく.

(1) 直線 AP と直線 BC の交点を D とする. AP AD x y を用いて表すと,それぞれ

となる.( は解答の順序を問わない.)

(2)  AD x の内積を求めよう.(1)より

AD x = + x y

である.また,余弦定理を用いると

x y = ケコ a2

であるから,求める内積は,

AD x = シス a 2

である.

(3)  AD=2 のとき, a= である.このとき,点 P から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とする. PH x y で表そう.

  PH x = であるから,実数 t を用いて AH = tx と表したとき

t=

である.したがって

PH = x + y

である.

2007 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】  5 人の高校生の身長を測定したが,何らかの理由によりそのうち 1 人のデータを紛失してしまい,残った 4 人のデータは次のようであった.

174.4 168.8 172.4 173.2 (単位は cm

 この 4 人のデータの平均値と分散を求める計算を簡単にするため,平均値に近いと思われる値として 172.0 cm を設定し,次のように計算を進める.

 上のデータを xi i=1 4 とし,それらから 172.0 を引いたものをそれぞれ y i i= 1 4 とおく.すなわち y i=x i172.0 i= 1 4 である.また, xi i= 1 4 の平均値と分散をそれぞれ x s x2 で表し, yi i= 1 4 の平均値と分散をそれぞれ y s y2 で表す.

 以下,小数の形で解答する場合は,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1)

y = . sy 2= . エオカ

である.したがって

x = キクケ . sx 2= . シスセ

である.

(2) 紛失したデータを x 5 とし,新たに yi i= 1 5 y i =xi 172.0 とおくと, y i i= 1 5 の平均値 y は, y y 5 を用いて と表される. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

  5 人全員の身長の平均値が,はじめの 4 人の平均値よりもちょうど 0.6 cm だけ大きいことがわかったとすると, x5 タチツ . cm である.

 また,このとき, 5 人全員の身長の分散は . ナニヌ である.

(3) データ zi i=1 n に対して,その平均値に近いと思われる値 a を設定することに関する次の記述のうち,誤っているもの である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

2007 大学入試センター試験 追試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 自然数 n に対して,放物線 y= x2 x 軸および直線 x= n とで囲まれた図形を Dn とする.また, 4 (0 ,0) ( n,0 ) (n ,n2 ) ( 0,n 2) を頂点とする長方形を E n とする.ただし, Dn E n は周上の点を含むものとする.

  En 1 辺の長さが 1 であるような n3 個の正方形に分割し,これらのうち Dn に含まれるものの個数の割合を求めるため,次の〔プログラム1〕を作った.

 なお,一つの正方形が Dn に含まれるためには,その左上の頂点が Dn に含まれていればよいということに注意せよ.

〔プログラム1〕

 以下,小数の形で解答する場合は,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,それぞれ次の 0 7 のうちからひとつずつ選べ.

(2) 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

(3) 〔プログラム1〕の 140 行を

の二つの行で置き換えると,不必要な繰り返しを減らすことができる.

(4) 次に, y>x 2 を満たす点と y <x2 を満たす点の両方を含む正方形については, Dn に含まれる部分の大きさに関わらず 0.5 個と数えることにして,〔プログラム1〕の 140 行のあとに次のように 145 行を挿入した〔プログラム2〕を作る.ただし,「 p AND q 」は「 p かつ q 」を表す.

〔プログラム2〕の一部

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

(5) 〔プログラム1〕および(4)の〔プログラム2〕を実行して N に 10 を入力したとき,個数の割合 P はそれぞれ . ケコサ . スセソ と出力される.

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