2007　北海道大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．方程式$x^2+ax+b=0$が実数解をもち，すべての解の絶対値が$1$以下であるとする．

(1)　この条件を満たす点$(a,b)$全体を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$a+2b$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　方程式$x^2+y^2-4y+2=0$で定義される円$C$を考える．

(1)　点$\mathrm{A}(-\sqrt{2},0)$と$\mathrm{O}(0,0)$を通り中心の座標が${\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2},0)}$および${\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2},2)}$である$2$つの円は，どちらも円$C$に接することを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$\cos \angle \mathrm{APO}$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　数$1\text{，}2\text{，}3$を重複を許して$n$個並べてできる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を考える．

(1)　条件$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n=j$を満たす数列が$A_n(j)$通りあるとする．ただし，$j=1\text{，}2\text{，}3$とする．

(ⅰ)　$A_n(1)\text{，}{A}_n(2)$を求めよ．

(ⅱ)　$n\geqq 2$のとき，$A_n(3)$を$A_{n-1}(1)\text{，}{A}_{n-1}(2)\text{，}{A}_{n-1}(3)$で表し，$A_n(3)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，条件

$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_{n-1}$かつ$a_{n-1}>a_n$

を満たす数列は何通りあるか．

【４】　$a>0\text{，}b\geqq 0\text{，}0<p<1$とし，関数$y=ax-b{x}^2$のグラフは定点$\mathrm{P}(p,p^2)$を通るとする．このグラフの$0\leqq x\leqq p$に対応する部分を$C$で表す．

(1)　$b$を$a$と$p$を用いて表せ．

(2)　$a$が範囲$p\leqq a\leqq 1$を動くとき，$C$上の点$(x,y)$の動く領域を$D$とする．

(ⅰ)　$x$を固定して$y$の動く範囲を求めよ．

(ⅱ)　$D$を図示せよ．

(3)　$D$の面積$S$を$p$で表し，${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq p\leqq \frac{3}{4}}$の範囲で$S$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　方程式$x^2+y^2-4y+2=0$で定義される円$C$を考える．

(1)　点$\mathrm{A}(-\sqrt{2},0)$と点$0(0,0)$を通り，円$C$に接する円の中心の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$\cos \angle \mathrm{APO}$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$4$枚のカードがあって，$1$から$4$までの整数がひとつずつ書かれている．このカードをよく混ぜて，$1$枚引いては数字を記録し，カードを元に戻す．この試行を$n$回繰り返し，記録した順に数字を並べて得られる数列を，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とする．

(1)　条件$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n=j$を満たす数列が$A_n(j)$通りあるとする．ただし，$j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$とする．

(ⅰ)　$A_n(1)\text{，}{A}_n(2)$を求めよ．

(ⅱ)　$n\geqq 2$のとき，$A_n(j)\text{（}j=3\text{，}4\text{）}$を$A_{n-1}(1)\text{，}{A}_{n-1}(2)\text{，}\cdots \text{，}{A}_{n-1}(j)$で表し，$A_n(3)\text{，}{A}_n(4)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_{n-1}$かつ$a_{n-1}>a_n$となる確率を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$y=x{e}^x$と$x$軸および$2$直線$x=n\text{，}x=n+1$で囲まれる図形を$D_n$とする．ただし，$n$を自然数とする．

(1)　図形$D_n$の面積を$S_n$として，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}$を求めよ．

(2)　図形$D_n$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$として，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{{(S_n)}^2}}$を求めよ．

【４】　図のような，半径$a$の円を底面とする高さ$b$の円柱の上に，同じ大きさの円を底面とする高さ$c$の直円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の屋根をのせてできる建物を考える．

(1)　$V$をこの建物の体積，$S$をこの建物の外側の表面積（底面は除く）とする．$V$と$S$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　$V$を一定に保ちながら$a\text{，}b\text{，}c$を動かして，$S$を最小にしたい．

(ⅰ)　$b=xa\text{，}c=ya$とおき，$V$と$a$を一定としたとき，$S$の最小値$T$を$V$と$a$で表せ．

(ⅱ)　$T$が最小となるときの比$a:b:c$を求めよ．

【５】　楕円$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}+\frac{y^2}{{\beta }^2}}=1$と双曲線${\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$を考える．$C_1$と$C_2$の焦点が一致しているならば，$C_1$と$C_2$の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ．