2007　北海道大学　後期MathJax

【１】　$k$を実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+k(\sqrt{3}\sin x+\cos x)$

とする．

(1)　$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$とおくとき，$f(x)$を$t$の$2$次式で表せ．

(2)　$k=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，$0<x<\pi$の範囲で方程式$f(x)=0$の解を求めよ．

(3)　$0<x<\pi$の範囲で方程式$f(x)=0$は任意の実数$k$に対して解をもつことを示せ．

【２】　$y=f(x)$を正の値をとる微分可能な関数で$f^{\prime }(x)>0$とする．

(1)　$h>0$とする．$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\mathrm{Q}(a+h,f(a+h))$を結ぶ線分を$x$軸のまわりに$1$回転させる．そうして得られた円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の側面の一部（右図）の面積$S(h)$を求めよ．

(2)　$\underset{h\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(h)}{h}}$を求めよ．

【３】　$xyz$空間において連立方程式

• $0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}0\leqq z\leqq 1$
• $x^2+y^2+z^2-2xy-1\geqq 0$

を表す立体を考える．

(1)　この立体を平面$z=t$で切ったときの断面を$xy$平面に図示し，この断面の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　この立体の体積を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の定める座標平面上の点の移動を考える．

(1)　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を定数とする．実数$t$が動くとき，点$(\alpha t+\beta ,t+\gamma )$が$A$による移動で移される点の軌跡は，ある$1$点か，またはある$1$つの直線になることを示せ．

(2)　直線$x=1$上の異なる$2$点が，$A$による移動で原点を通らない直線上の異なる$2$点に移るならば，$A$は逆行列をもつことを示せ．