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2007-10010-0101
2007 旭川医科大学 後期
医学部(医学科)
易□ 並□ 難□
【1】 x についての次の不等式を解け.ただし, a は定数で, a≠ 0 とする.
a2 −x 2> a⁢x −a
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【2】 0<a< 1 2 とし,曲線 x ⁢y= a と円 x 2+ y2= 1 の第 1 象限内にある二つの交点のうち,座標が (cos ⁡θ, sin⁡θ ) (ただし, 0<θ < π4 ) で表される点を A , もうひとつの交点を B とする.原点を O とし,線分 OA , OB および曲線 x ⁢y= a で囲まれる図形の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.
問1 S を θ で表せ.
問2 θ が 0< θ< π 4 の範囲を動くとき, S が極大になる θ がただ一つ存在することを示せ.
問3 0<θ < π4 のとき,方程式 tan ⁡θ= 1 4 の解を a , tan⁡θ = 13 の解を β とする.このとき, S を極大にする θ は α と β の間にあることを示せ.ただし, log⁡2 =0.69 ,log ⁡3= 1.10 とする.
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【3】 数列 { an } に対し,数列 { bn } を bn= 3⁢a n+1 −2 ⁢an で定義する.数列 { bn } が初項 b ( ≠0 ), 公比 r の等比数列であるとき,次の問いに答えよ.
問1 b=r= 2 で a 1= 1 2 のとき,数列 { an } の一般項を求めよ.
問2 数列 { an } が等比数列であるための必要十分条件を, b ,r , a1 を用いて表せ.
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【4】 関数 f ⁡(x) =x⁢ ex +( 1− ex) ⁢log⁡ (1 −ex ) ( x<0 ) について,次の問いに答えよ.
問1 f⁡(x ) の増減と極値を調べ, y=f ⁡(x ) のグラフの概形を描け.ただし,グラフの凹凸と変曲点は調べなくてよい.必要なら, limx →∞ ⁡x ex =0 , limx→ +0⁡ x⁢log ⁡x=0 を用いてもよい.
問2 曲線 C 1:y =ex +k と曲線 C 2:y =x− ex が共通接線を持つような,実数 k の範囲を求めよ.