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2007 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  x についての次の不等式を解け.ただし, a は定数で, a 0 とする.

a2 x 2> ax a

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】  0<a< 1 2 とし,曲線 x y= a と円 x 2+ y2= 1 の第 1 象限内にある二つの交点のうち,座標が (cos θ, sinθ ) (ただし, 0<θ < π4 ) で表される点を A もうひとつの交点を B とする.原点を O とし,線分 OA OB および曲線 x y= a で囲まれる図形の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.

問1  S θ で表せ.

問2  θ 0< θ< π 4 の範囲を動くとき, S が極大になる θ がただ一つ存在することを示せ.

問3  0<θ < π4 のとき,方程式 tan θ= 1 4 の解を a tanθ = 13 の解を β とする.このとき, S を極大にする θ α β の間にあることを示せ.ただし, log2 =0.69 log 3= 1.10 とする.

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【3】 数列 { an } に対し,数列 { bn } bn= 3a n+1 2 an で定義する.数列 { bn } が初項 b 0 ), 公比 r の等比数列であるとき,次の問いに答えよ.

問1  b=r= 2 a 1= 1 2 のとき,数列 { an } の一般項を求めよ.

問2 数列 { an } が等比数列であるための必要十分条件を, b r a1 を用いて表せ.

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【4】 関数 f (x) =x ex +( 1 ex) log (1 ex ) x<0 について,次の問いに答えよ.

問1  f(x ) の増減と極値を調べ, y=f (x ) のグラフの概形を描け.ただし,グラフの凹凸と変曲点は調べなくてよい.必要なら, limx x ex =0 limx +0 xlog x=0 を用いてもよい.

問2 曲線 C 1:y =ex +k と曲線 C 2:y =x ex が共通接線を持つような,実数 k の範囲を求めよ.

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