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2007 東北大学 前期

文系・理系共通

易□ 並□ 難□

【1】  n 2 以上の自然数とし,整式 x n x 26 x 12 で割った余りを a nx +bn とする.

(1)  a2 b2 を求めよ.

(2)  an+ 1 b n+1 a n b n を用いて表せ.

(3) 各 n に対して, an b n の公約数で素数となるものをすべて求めよ.

2007 東北大学 前期

文系・理系共通

易□ 並□ 難□

【2】  C を直角とする直角三角形 ABC に対して, A の二等分線と線分 BC の交点を D とする.また,線分 AD DC CA の長さはそれぞれ 5 3 4 とする. A =θ とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  sinθ を求めよ.

(2)  θ< 512 π を示せ.ただし, 2= 1.414 3=1.732 を用いてもよい.

2007 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面の 3 A (0 ,0) B (2 ,0) C ( 1,3 ) を頂点とする ABC に対して以下の問いに答えよ.

(1)  0a 3 を満たす定数 a に対して,点 P (x, a) ABC に含まれるための x の範囲を求めよ.

(2) (1)の定数 a に対して,(1)で求められた範囲を x が動くとき, AP2 +BP 2+ CP2 の最小値と,そのときの x の値を求めよ.

(3) 点 P (x, y) ABC に含まれるとき, AP2 +BP2 +CP 2 の最小値と,そのときの点 P の座標 (x ,y) を求めよ.

2007 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x)

f(x )=x 2x 02 |f (t) | dt

を満たしているとする.このとき, f( x) を求めよ.

2007 東北大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対し,方程式

1 xn log x 1e =0

を考える.ただし,対数は自然対数であり, e はその底とする.

(1) 上の方程式は x 1 にただ一つの解をもつことを示せ.

(2) (1)の解を x n とする.このとき, limn x n=1 を示せ.

2007 東北大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

2007年度東北大理系【4】の図

【4】  xy 平面上に 4 (0 ,0) ( 4,0 ) (4 ,4) ( 0,4 ) を頂点とする正方形 K を考える.点 ( 1,2 ) を通る各直線に対して,その K に含まれる部分を l とおく.

(1)  l の長さの最大値と,それを与える直線の方程式を求めよ.

(2)  l の長さの最小値を求めよ.

2007 東北大学 前期

理系

(理学部・工学部・医学部(医学科))

易□ 並□ 難□

【5】  xyz 空間において,点 (1 ,0, 1) と点 (1 ,0, 2) を結ぶ線分を l とし, l z 軸のまわりに一回転してできる図形を A とする. A x 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.

2007 東北大学 前期

理系

(理学部・工学部・医学部(医学科))

易□ 並□ 難□

【6】  a>0 に対し

I 0(a )= 0 a 1+x dx In (a)= 0 a xn 1+ xd x n=1 2

とおく.

(1)  lima a 3 2 I 0 (a) を求めよ.

(2) 漸化式

In (a)= 2 3+2 n an ( 1+a) 32 2n 3+2 n I n1 ( a) n= 1 2

を示せ.

(3) 自然数 n に対して, lima a ( 3 2+ n) In (a ) を求めよ.

文系・理系の学部・学科別

文系 文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部(保健学科看護学専攻)

理系 理学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)・歯学部・薬学部・工学部・農学部

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