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2007-10081-0101
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2007 東北大学 前期
文系・理系共通
易□ 並□ 難□
【1】 n を 2 以上の自然数とし,整式 x n を x 2−6 ⁢x− 12 で割った余りを a n⁢x +bn とする.
(1) a2 , b2 を求めよ.
(2) an+ 1 ,b n+1 を a n と b n を用いて表せ.
(3) 各 n に対して, an と b n の公約数で素数となるものをすべて求めよ.
2007-10081-0102
【2】 ∠C を直角とする直角三角形 ABC に対して, ∠A の二等分線と線分 BC の交点を D とする.また,線分 AD ,DC , CA の長さはそれぞれ 5 , 3 , 4 とする. ∠A =θ とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) sin⁡θ を求めよ.
(2) θ< 512 ⁢π を示せ.ただし, 2= 1.414⋯ , 3=1.732 ⋯ を用いてもよい.
2007-10081-0103
文系
【3】 xy 平面の 3 点 A (0 ,0) ,B (2 ,0) ,C ( 1,3 ) を頂点とする ▵ ABC に対して以下の問いに答えよ.
(1) 0≦a ≦3 を満たす定数 a に対して,点 P (x, a) が ▵ ABC に含まれるための x の範囲を求めよ.
(2) (1)の定数 a に対して,(1)で求められた範囲を x が動くとき, AP2 +BP 2+ CP2 の最小値と,そのときの x の値を求めよ.
(3) 点 P (x, y) が ▵ ABC に含まれるとき, AP2 +BP2 +CP 2 の最小値と,そのときの点 P の座標 (x ,y) を求めよ.
2007-10081-0104
理系のための備忘録さんの解答へ
【4】 関数 f⁡ (x) が
f⁡(x )=x 2−x ⁢ ∫02 ⁡ |f⁡ (t) | ⁢dt
を満たしているとする.このとき, f⁡( x) を求めよ.
2007-10081-0105
理系
【3】 自然数 n に対し,方程式
1 xn −log ⁡x− 1e =0
を考える.ただし,対数は自然対数であり, e はその底とする.
(1) 上の方程式は x ≧1 にただ一つの解をもつことを示せ.
(2) (1)の解を x n とする.このとき, limn →∞ ⁡x n=1 を示せ.
2007-10081-0106
【4】 xy 平面上に 4 点 (0 ,0) ,( 4,0 ), (4 ,4) ,( 0,4 ) を頂点とする正方形 K を考える.点 ( 1,2 ) を通る各直線に対して,その K に含まれる部分を l とおく.
(1) l の長さの最大値と,それを与える直線の方程式を求めよ.
(2) l の長さの最小値を求めよ.
2007-10081-0107
(理学部・工学部・医学部(医学科))
【5】 xyz 空間において,点 (1 ,0, 1) と点 (1 ,0, 2) を結ぶ線分を l とし, l を z 軸のまわりに一回転してできる図形を A とする. A を x 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.
2007-10081-0108
【6】 a>0 に対し
I 0(a )= ∫0 a⁡ 1+x ⁢dx , In⁡ (a)= ∫0 a⁡ xn ⁢1+ x⁢d x ( n=1 ,2 ,⋯ )
とおく.
(1) lima →∞ ⁡ a− 3 2 ⁢I 0⁡ (a) を求めよ.
(2) 漸化式
In⁡ (a)= 2 3+2 ⁢n ⁢an ⁢( 1+a) 32 − 2⁢n 3+2 ⁢n ⁢I n−1 ⁡( a) ( n= 1, 2, ⋯)
を示せ.
(3) 自然数 n に対して, lima →∞ ⁡a − ( 3 2+ n) ⁢In ⁡(a ) を求めよ.
文系・理系の学部・学科別
文系 文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部(保健学科看護学専攻)
理系 理学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)・歯学部・薬学部・工学部・農学部