2007　東北大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\leqq 1$を示せ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$の範囲で${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+\sin x=2$を満たす$x$を求めよ．

【２】　図のような平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{ADB}$は直角とする．$\mathrm{D}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした推薦と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{13}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

【３】　$xy$平面の$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)$を頂点とする三角形を$A$とし，$3$点$(0,0)\text{，}(b,0)\text{，}(0,1)$を頂点とする三角形を$B$とする．点$(a_1,a_2)$が$A$内を動き，点$(b_1,b_2)$が$B$内を動くとき，$(a_1+b_1,a_2+b_2)$で表される点の全体を$A+B$とかく．

(1)　$b=2$のとき$A+B$の面積を求めよ．

(2)　すべての$b>0$に対して，

$\sqrt{|A+B|}\geqq \sqrt{|A|}+\sqrt{|B|}$

を示せ．ただし，$|A+B|\text{，}|A|\text{，}|B|$は，それぞれ$A+B\text{，}A\text{，}B$の面積とする．

【４】　あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え，グループの人数の半数以上が正解すればグル−プは合格とする．ただし，一人一人の正解する確率は$p$で，$0\leqq p\leqq 1$とする．グループの人数が$2n$であるとき，グループが合格する確率を$a_n(p)$とする．

(1)　$a_2(p)$は文字$p$についての多項式として$p^2$で割り切れることを示せ．

(2)　$a_2(p)\geqq a_1(p)$となる$p$の範囲を求めよ．

【１】　$0\leqq x<2\pi$の範囲で次の方程式の解を求めよ．

(1)　${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=1$

(2)　${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+\sin x=2$

【２】　図のような平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{ADB}$は直角とする．$\mathrm{D}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{13}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$\angle \mathrm{EDB}$を求めよ．

【３】　あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え，グループの人数の半数以上が正解すればグループは合格とする．ただし，一人一人の正解する確率は$p\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$とする．グループの人数が$2n$であるときグループが合格する確率を$a_n(p)$とする．

(1)　$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n(p)$は文字$p$についての多項式として$p^n$で割り切れ，$a_n(p)-a_{n-1}(p)$は文字$p$についての多項式として${(1-p)}^n$で割り切れることを示せ．

(2)　$a_3(p)\geqq a_2(p)$となる$p$の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を$a\geqq 0\text{，}b\leqq \mathrm{-2}{a}^3+3a-2$を満たす定数とする．このとき，$xy$平面において，直線$y=2x$と放物線$y=x^2+2ax+b$は$2$点で交わることを示せ．

【５】　不等式$x^2>2^x$を満たす正の実数$x$の範囲を求めよ．

【６】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$上に点${\mathrm{P}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を$\angle {\mathrm{P}}_k\mathrm{OA}={\displaystyle \frac{k}{n}}\pi$を満たすようにとる．ただし，$\mathrm{O}=(0,0)\text{，}\mathrm{A}=(2,0)$とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}(\frac{1}{{{\mathrm{OP}}_1}^2}+\frac{1}{{{\mathrm{OP}}_2}^2}+\cdots +\frac{1}{{{\mathrm{OP}}_n}^2})}$

を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系　理学部・薬学部・医学部（医保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）