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2007 筑波大学 前期

数学II分野

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上に 2 定点 A (1 ,0) O (0, 0) をとる.また, m 1 より大きい実数とする.

(1)  AP: OP=m :1 を満たす P (x, y) の軌跡を求めよ.

(2) 点 A を通る直線で,(1)で求めた軌跡との共有点が 1 個のものを求めよ.また,その共有点の座標も求めよ.

2007 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=b+ 1 b ea x e a x について,以下の問いに答えよ.ただし, a>0 b> 1 とする.

(1)  f(x )0 を満たす x の範囲を求めよ.

(2) 曲線 y =f (x) x 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ.

(3)  a=b logb のとき,(2)で求めた体積 V V (b ) と表す.このとき, limb V (b )= 2π となることを示せ.

2007 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【3】(1)  0π x2 cos2 x dx を求めよ.

(2) 定数 a に対して,

f(x )=a xsin x+x + π2

とおく.このとき,不等式

0π {f ( x) }2 dx f (π 2)

を満たす a の範囲を求めよ.ただし, f ( x) f (x ) の導関数とする.

2007 筑波大学 前期

数学B分野

易□ 並□ 難□

【4】(1) 一般項 a n a n3 +b n2 +c n で表される数列 { an } において,

n2 =a n+1 a n n=1 2 3

が成り立つように,定数 a b c を定めよ.

(2) (1)の結果を用いて, k =1n k 2= 16 n( n+1) (2 n+1 ) となることを示せ.

(3)  1 2 n の相異なる 2 数の積のすべての和を S (n ) とする.たとえば, S( 3)= 1×2 +1× 3+2 ×3= 11 である. S( n) n 4 次式で表せ.

2007 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【5】  a0 とする. A=( 0 1 ) B= (a b ) に対して, 2 次正方行列 P

PA= A+B PB= AB

を満たしている.

(1)  a b を用いて P を表し, P が逆行列 P −1 をもつことを示せ.

(2)  ( s t )= P−1 B とおく. xy 平面において,点 (a ,b) が放物線 x =y2 +2 上を動くとき,点 (s ,t) の軌跡を求めよ.ただし, |y | 1 とする.

2007 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【6】  xy 平面上で, 2 次曲線 C :x2 +a y2+ by =0 が直線 L :y=2 x 1 に点 P で接している.ただし, a 14 とする.

(1)  a b の関係式を求めよ.

(2)  C が楕円,放物線,双曲線となるそれぞれの場合に, b の値の範囲を求めよ.

(3)  C が楕円となる場合の接点 P の存在範囲を求め, xy 平面上に図示せよ.

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

 社会学類 【1】【4】必須

 国際総合学類 数学II・B選択者 【1】【4】必須

 国際総合学類 数学III・C選択者 【2】【3】から1題,【5】【6】から1題選択

人間学群

 数学II・数学B選択者 【1】【4】必須

 数学III選択者 【2】【3】必須

 数学C選択者 【5】【6】必須

生命環境学群

 生物学類,生物資源学類 【1】【3】必須,【4】【6】から2題選択

 地球学類 【2】【3】【5】【6】必須,【1】【4】から1題選択

理工学群

 数学類,物理学類,化学類

   【2】【3】【5】【6】必須,【1】【4】から1題選択

 応用理工学類,工学システム学類

   【2】【3】必須,【1】【4】【6】から2題選択

 社会工学類

   【2】【3】必須,【1】【4】から1題,【5】【6】から1題選択

情報学群

 情報科学類,情報メディア創成学類

   【1】【4】必須,【5】【6】から1題選択

 知識情報・図書館学類

  数学II・数学B選択者 【1】【4】必須

  数学II・数学C選択者 【1】必須,【5】【6】から1題選択

  数学III・数学B選択者 【4】必須,【2】【3】から1題選択

  数学III・数学C選択者 【2】【3】から1題,【5】【6】から1題選択

医学群(医学類・医療科学類) 【1】【3】必須,【4】【6】から2題選択

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