2007　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$は整数で，$a>0\text{，}c$は素数とする．また，$2$つの多項式を

• $f(x)=x^3+(a+2)x^2-(3a^2-2a)x-6a^2$
• $g(x)=x^3+2x^2-bx-c$

とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$f(x)=0$の解を求めなさい．

(2)　$f(x)$と$g(x)$の共通因数の次数が$2$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めなさい．

【２】　ある円に内接する$4$角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さは$\mathrm{AB}=156\text{，}\mathrm{BC}=65\text{，}\mathrm{CD}=120\text{，}\mathrm{DA}=119$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　${156}^2+{65}^2-{120}^2-{119}^2$の値を求めなさい．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めなさい．

(3)　$\angle \mathrm{BAC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{CAD}=\beta$とおき，$2\alpha$と$\beta$の大小を比べなさい．

【３】　$a$は正の定数とする．また，点$\mathrm{A}$は放物線$y=-x^2+2ax-a^2-a+{\displaystyle \frac{3}{2}}$の上を動き，点$\mathrm{B}$は放物線$y=x^2$の上を動くものとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$における放物線$y=-x^2+2ax-a^2-a+{\displaystyle \frac{3}{2}}$の接線と，点$\mathrm{B}$における放物線$y=x^2$の接線が平行であるとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線が常にある定点を通ることを証明しなさい．

(2)　$2$つの放物線が交わるような$a$の値の範囲を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めなさい．

【４】　次の問に答えなさい．

(1)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の解が$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$であるとき，$3$つの係数$a\text{，}b\text{，}c$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$で表しなさい．

(2)　次の$2$条件

• (ⅰ)　縦，横，高さを加えると$9m$になる．
• (ⅱ)　表面積は$48{\mathrm{cm}}^2$である．

を満たす直方体の体積のうちで最大のものを求めなさい．