2007　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする．$▵\mathrm{ABC}$を含む平面上の点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$

を満たした動くとき，$\mathrm{P}$が描く図形を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が与えられたとき，新しい数列$\{b_n\}$および$\{c_n\}$を

• $b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(\mathrm{-1})}^k{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$
• $c_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(\mathrm{-1})}^k{b}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問に答えよ．

(1)　

• $c_{2n-1}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$
• $c_{2n}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　数列$\{c_n\}$が$c_n={(n+1)}^2{3}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となるような数列$\{a_n\}$を求めよ．

【３】　$a>0\text{，}b>0$とし，座標平面上に点$\mathrm{P}(a,b)$をとる．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{（}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{）}$に垂直な直線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を$a\text{，}b$の式で表せ．

(2)　(1)で求めた最小値を$l$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$xy=8\text{（}x>0\text{）}$上を動くとき，$l$の最小値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}}$を求めよ．

(2)　半径$1$の円に内接する正$n$角形の異なる$2$つの頂点を結ぶ線分（辺と対角線）の総数を$M_n\text{，}$それらの長さの総和を$L_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{M_n}}$を求めよ．