2007　埼玉大学　前期(工学部(機械工学科))MathJax

【１】

(1)　次の関数を微分せよ．

$y=5^{-x}\cos x\log |\cos x|(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

【１】

(2)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^3-4x^2-x-2}{x^2-5x+4}}dx$

【２】　$10l$の水が入った容器$\mathrm{A}$と$5l$の水が入った容器$\mathrm{B}$と$1l$の水が入った容器$C$がある．次のような一連の操作(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)を行うことにする．

• (Ⅰ)　容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$の水量を調べ，水量の差の$10$分の$1$を水量の多い容器から水量の少ない容器へ移す．
• (Ⅱ)　$1l$の水を容器$\mathrm{C}$から容器$\mathrm{A}$へ移す．
• (Ⅲ)　$1l$の水を容器$\mathrm{B}$から容器$\mathrm{C}$へ移す．

　一連の操作を$n$回繰り返したときの容器$\mathrm{A}$の水量を$a_{n}l\text{，}$容器$\mathrm{B}$の水量を$b_{n}l$とする．このとき，$a_n$を$n$を用いて示せ．ただし，容器から水があふれることはないものとする．

【３】　関数${\displaystyle f(x)=2^{2x}+\frac{1}{2^{2x}}-3\sqrt{2}(2^x+\frac{1}{2^x})+4}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$2^x+{\displaystyle \frac{1}{2^x}}=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表し，図示せよ．（横軸に$t$の値を，縦軸に$f(x)$の値をとって示せ．）

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【４】　次式で表される曲線を，鉛直方向に向いた$y$軸の回りに一回転させる．この回転でできる曲面を側面にもち，底面が水平な容器に水を注ぐ．

$y={\displaystyle \frac{18}{x}}-3\text{（}1\leqq x\leqq 6\text{）}$

(1)　深さ$10$のときの水の体積$V$を求めよ．

(2)　単位時間あたり$a$の割合で水を注ぐとき，深さが$5$になったときの単位時間あたりの水面の上昇量を求めよ．

【５】　曲線$A$が関数$y=f(x)$で表されるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$f(x)$は次式で与えられるものとする．

$f(x)=\mathrm{-3}{x}^4+4b{x}^3+24x^2-48bx+a\text{（}\mathrm{-2}<b<2\text{）}$

(1)　関数$y=f(x)$の増減表をつくり，極値を与える$x$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$が極小となる点で曲線$A$が$x$軸と接するとき，$a$を$b$で表せ．

(3)　関数$f(x)$の$2$つの極大値が等しくなるときの$b$を求めよ．

(4)　関数$y=f(x)$が極小となる点で曲線$A$が$x$軸と接し，かつ$2$つの極大値が等しくなるとき，曲線$A$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【６】　下図に示すように，点$\mathrm{P}(0,\mathrm{-1})$で内接する中心$(0,0)$の小円と中心$(0,1)$の大円がある．この$2$つの円は共通接線$l\text{（}y=\mathrm{-1}\text{）}$上をすべることなく$x$の正方向に角度$\alpha$だけ転がった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　小円上の点$\mathrm{J}(1,0)$は，点${\mathrm{J}}^{\prime }$に移動した．角度$\alpha$を用いて点${\mathrm{J}}^{\prime }$の座標を表せ．

(2)　$2$つの円は点$\mathrm{Q}$で外接した．角度$\alpha$および外接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　共通接線$l$と小円との接点を$\mathrm{A}\text{，}$大円との接点を$\mathrm{B}$とする．いま，点$\mathrm{A}$から外接点$\mathrm{Q}$を通る直線$m$を引き，直線$m$と大円のもう一つの交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．