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2007 千葉大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の実数とする. 2 次関数 f (x )=a x2 2 (a +1) x+ 1 に対して,次の問いに答えよ.

(1) 関数 y= f( x) のグラフの頂点の座標を求めよ.

(2)  0x 2 の範囲で y =f( x) の最大値と最小値を求めよ.

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【2】  n を奇数とする.次の問いに答えよ.

(1)  n2 1 8 の倍数であることを証明せよ.

(2)  n5 n 3 の倍数であることを証明せよ.

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【3】  C1 を半径 1 の円とし, C2 C 1 に外接している半径 2 の円とする. C を円 C 1 と円 C 2 の両方に外接している半径 r の円とする.円 C の中心を A C 1 の中心を B C1 C 2 の接点を O とし, AOB θ とする.

(1)  r=3 のとき cos θ の値を求めよ.

(2) 線分 AO の長さを r を用いて表せ.

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【4】  1 から 7 までの番号が書かれた 7 枚のカードがある.この中から 4 枚のカードを同時に取り出す.取り出されたカードに書かれた 4 個の数の和から,取り出されなかった 3 枚のカードに書かれた 3 個の数の和を引いた値を X とする.

(1)  X=−8 となる確率を求めよ.

(2)  X が負となる確率を求めよ.

(3)  X の期待値を求めよ.

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【5】  a を実数とする. x についての方程式 | x2 +ax +2a | =a+1 が異なる実数解をちょうど 2 個もつような a の値の範囲を求めよ.

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【6】 平面上で AB= 3 となる 2 A B をとる.点 A を中心とする半径 1 の円を S とし,点 B を中心とする半径 2 の円を T とする. 2 C D は円 S 上を動き, 2 E F は円 T 上を動く.ただし,線分 CD は点 A を通り,線分 EF は点 B を通る.このとき内積 CE DF の最大値と最小値を求めよ.

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【7】  n を奇数とする.次の問いに答えよ.

(1)  n 2 1 8 の倍数であることを証明せよ.

(2)  n5 n 3 の倍数であることを証明せよ.

(3)  n 5 n 120 の倍数であることを証明せよ.

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【8】  x の関数

f(x )= x 2 x+2 |y (y 5) | dy

2 x における最小値を求めよ.

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【9】  e を自然対数の底とし, f (x) =14 x2 +12 loge | x| +34 とする.

(1) 曲線 y= f( x) 2 接線で,互いに垂直であるものをすべて求めよ.

(2) 直線 l は曲線 y =f (x) の接線で,原点を通りかつ傾きが正とする. l の方程式は y =x であることを示せ.

(3) 曲線 y= f( x) 2 直線 x =c y =x で囲まれた図形の面積を求めよ.

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【10】 媒介変数表示 x =cos θ y =cos2 θ tan θ 2 (ただし, 0θ π2 が表す曲線を C とする.

(1)  y を最大にする θ の値を α とするとき, cos α の値を求めよ.

(2) 曲線 C x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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【11】 初項 a 公差の等差数列を { an } とし,初項 b 公比 r の等比数列を { bn } とする.ただし b d 0 r 0 1 とする.数列 { bn } の各項は数列 { an } のどれかの項と一致するものと仮定し,数列 { cn } cn= bn a d で定める.

(1)  cn n =1 2 3 0 以上の整数であることを示せ.

(2) 数列 { cn }

cn+ 1 rc n=c 2 r c1 n= 1 2 3

を満たすことを示せ.

(3)  r が有理数であることを示せ.

(4)  cn n= 3 4 5 c 1 c2 r を用いて表せ.

(5)  r は整数であることを示せ.

志望別問題選択一覧

数学I,A

 教育学部 算数科選修 【1】【2】【3】【4】

 教育学部 理科教育分野,技術科教育分野 【2】【3】【4】【5】

数学I,II,A,B

 文学部 行動科学科 【4】【5】【6】【7】

 法経学部 【4】【5】【6】【7】

 園芸学部 【3】【4】【6】【7】

 教育学部 情報教育分野 【3】【4】【6】【7】

 教育学部 数学科教育分野 【1】【3】【4】【6】【7】【8】

数学I,II,III,A,B,C

 理学部 生物学科,地球科学科 【3】【4】【6】【7】【9】

 工学部Aコース 都市環境システム学科,デザイン工学科

  【3】【4】【6】【7】【9】

 理学部 物理学科,化学科 【4】【7】【8】【9】【10】

医学部 【4】【7】【8】【9】【10】

薬学部 【4】【7】【8】【9】【10】

 工学部Aコース 電子機械工学科,メディカルシステム工学科,

 共生応用化学科,情報画像学科

  【4】【7】【8】【9】【10】

 理学部 数学・情報数理学科

  【4】【7】【8】【9】【10】【11】

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