2007　千葉大学　先進科学プログラム入学者選考課題MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(1)　$x$に関する方程式$x(x-1)(x-2)=6$の解をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(2)　以下の複素数を$(a+bi)$の形に直しなさい．

${\displaystyle \frac{{(1-\sqrt{3}i)}^2}{1+\sqrt{3}i}}$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(3)　$1$から$9$までの数字が書かれた$9$枚の札がある．$9$枚の内から任意の$2$枚を選んで横に並べ$2$桁の数字を作るとき以下の確率を求めなさい．

ア)　偶数

イ)　$3$の倍数

【１】　以下の問いに答えなさい．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(4)　$2$つの正の実数$a\text{，}b\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$に対する相加平均を$A\text{，}$相乗平均を$B\text{，}$調和平均を$C\left({\displaystyle \frac{2}{C}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\right)$としたとき，$A\text{，}B\text{，}C$間には$A\geqq B\geqq C$が成り立つ事を証明しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(5)　内角が全て$180°$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CD}=5\text{，}\mathrm{DA}=8\text{，}\angle \mathrm{B}=120°$であるとき，$\angle \mathrm{D}$の大きさを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答は問題中で与えられた記号を用いて表しなさい．

(6)　$a_0=0\text{，}{a}_1=1$および$a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線$l$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$からの距離が最小となる点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

(1)　$a$は実数とする．このとき，積分

${\displaystyle {\int }_0^2}x{(x-a)}^{2}dx$

を求めなさい．

(2)　実数$a$が$0\leqq a\leqq 2$の範囲にあるとき，(1)の積分の最小値を求めなさい．