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2007 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【1】 連立不等式

y(y |x 25 |+4) 0 y +x2 2x 30

の表す領域を D とする.

(1)  D を図示せよ.

(2)  D の面積を求めよ.

2007 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【2】  r 0 <r< 1 をみたす実数, n 2 以上の整数とする.平面上に与えられた 1 つの円を,次の条件 をみたす 2 つの円で置き換える操作(P)を考える.

 新しい 2 つの円の半径の比は r :1 r で,半径の和はもとの円の半径に等しい.

 新しい 2 つの円は互いに外接し,もとの円に内接する.

 以下のようにして,平面上に 2 n 個の円を作る.

・最初に,平面上に半径 1 の円を描く.

・次に,この円に対して操作(P)を行い, 2 つの円を得る(これを 1 回目の操作という).

k 回目の操作で得られた 2 k 個の円のそれぞれについて,操作(P)を行い, 2k+ 1 個の円を得る( 1k n1 ).

2007年東京大学前期文科【2】の図

(1)  n 回目の操作で得られる 2 n 個の円の周の長さの和を求めよ.

(2)  2 回目の操作で得られる 4 つの円の面積の和を求めよ.

(3)  n 回目の操作で得られる 2n 個の円の面積の和を求めよ.

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文科

易□ 並□ 難□

【3】 正の整数の下 2 けた とは, 100 の位以上を無視した数をいう.たとえば 2000 12345 の下 2 桁はそれぞれ 0 45 である. m が正の整数全体を動くとき, 5m 4 の下 2 桁として現れる数をすべて求めよ.

2007 東京大学 前期

文科・理科共通

文科【4】,理科【5】

易□ 並□ 難□

【4】 表が出る確率が p 裏が出る確率が 1 p であるような硬貨がある.ただし, 0<p< 1 とする.この硬貨を投げて,次のルール(R)の下で,ブロック積みゲームを行う.

(R) { ブロックの高さは,最初は 0 とする. 硬貨を投げて表が出れば高さ 1 のブロックを 1 つ積み上げ,  裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ 0 に戻す.

  n を正の整数, m 0 m n をみたす整数とする.

(1)  n 回硬貨を投げたとき,最後にブロックの高さが m となる確率 p m を求めよ.

(2) (1)で,最後にブロックの高さが m 以下となる確率 q m を求めよ.

(3) ルール(R)の下で, n 回の硬貨投げを独立に 2 度行い,それぞれ最後のブロックの高さを考える. 2 度のうち,高い方のブロックの高さが m である確率 r m を求めよ.ただし,最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.

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理科

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【1】  n k を正の整数とし, P (x) を次数が n 以上の整式とする.整式 (1+x )k P(x ) n 次以下の項の係数がすべて整数ならば, P(x ) n 次以下の項の係数は,すべて整数であることを示せ.ただし,定数項については,項それ自身を係数とみなす.

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理科

易□ 並□ 難□

【2】  n 2 以上の整数とする.平面上に n +2 個の点 O P 0 P1 Pn があり,次の 2 つの条件をみたしている.

  P k1 OPk =π n (1 kn ) O Pk1 Pk= OP0 P1 ( 2kn )

 線分 O P0 の長さは 1 ,線分 O P1 の長さは 1 + 1n である.

 線分 P k 1 Pk の長さを a k とし, s n= k=1 n ak とおくとき, limn s n を求めよ.

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理科

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の 2 P Q が,曲線 y =x2 ( −1 x1 ) 上を自由に動くとき,線分 PQ 1 :2 に内分する点 R が動く範囲を D とする.ただし, P=Q のときは R =P とする.

(1)  a - 1a 1 をみたす実数とするとき,点 (a ,b) D に属するための b の条件を a を用いて表せ.

(2)  D を図示せよ.

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理科

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【4】 以下の問いに答えよ.

(1) 実数 a に対し, 2 次の正方行列 A P Q が, 5 つの条件 A=a P+ (a+1 )Q P2 =P Q2 =Q P Q=O Q P=O をみたすとする.ただし O=( 0 0 00 ) である.このとき, ( P+Q ) A =A が成り立つことを示せ.

(2)  a は正の数として,行列 A =( a0 1 a+1 ) を考える.この A に対し,(1)の 5 つの条件をすべてみたす行列 P Q を求めよ.

(3)  n 2以上の整数とし, 2k n をみたす整数 k に対して Ak= ( k 0 1 k+1 ) とおく.行列の積 An An 1 A n 2 A 2 を求めよ.

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理科

易□ 並□ 難□

【6】 以下の問いに答えよ.

(1)  0<x< a をみたす実数 x a に対し,次を示せ.

2xa < ax a+x 1t dt <x ( 1a+x +1 ax )

(2) (1)を利用して,次を示せ.

0.68<log 2<0.71

 ただし, log2 2 の自然対数を表す.

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