2007　東京大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面の曲線$C:x{y}^2=4$上に$1$点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)\text{（}{y}_0>0\text{）}$をとる．${\mathrm{P}}_0$における$C$の接線と$C$との共有点のうち，${\mathrm{P}}_0$と異なるものを${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$とする．また${\mathrm{P}}_1$における$C$の接線と$C$との共有点のうち，${\mathrm{P}}_1$と異なるものを${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標を$y_0$を用いて表せ．

(2)　$▵{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積を$T$とし，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$および曲線$C$で囲まれた領域の戦績を$S$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値を求めよ．

(3)　$\angle {\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$が直角となるような$y_0$の値を求めよ．

(4)　前問(3)で求めた$y_0$に対し，$▵{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の外接円の面積を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\text{（}{a}^2+b^2\ne 0\text{）}$に対し，

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)}^{-1}$

とおく．行列$B$は

$B=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)$

の形であることを示し，$r+t\text{，}rt-s^2$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　前問(1)において$r^2+s^2\geqq a^2+b^2$が成り立つことを示せ．

(3)　実数$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

$n=0$のとき

$\left(\begin{array}{cc}{a}_0& b_0\\ b_0& c_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\text{，}$

$n\geqq 0$のとき

$\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& c_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& b_{n-1}\\ -b_{n-1}& a_{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& b_{n-1}\\ b_{n-1}& c_{n-1}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& b_{n-1}\\ -b_{n-1}& a_{n-1}\end{array}\right)}^{-1}$

(ア)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$を示せ．

(イ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

【３】　$N$を$2$以上の自然数とする．$x_1\leqq \cdots \leqq x_N$をみたす実数$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_N$に対し，実数$k_n\text{，}{p}_n\text{，}{q}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の手続で定める．

(A)　$k_0=1\text{，}{p}_0=x_1\text{，}{q}_0=x_N$

(B)　$n$が奇数のとき

• $k_n$は$x_i={\displaystyle \frac{p_{n-1}+q_{n-1}}{2}}$をみたす$x_i$の個数，
• $p_n=p_{n-1}\text{，}{q}_n=q_{n-1}$

(C)　$n$が偶数（$n\geqq 2$）のとき

• $k_n=k_{n-1}$，
• $p_n={\displaystyle \frac{1}{k_n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{k_n}}{x}_i\text{，}{q}_n={\displaystyle \frac{1}{N-k_n}}{\displaystyle \sum _{i=k_n+1}^N}{x}_i$

　ただし$k_n=0$または$k_n=N$となったら，その時点で手続を終了する．

　$x_1<x_N$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について

$1\leqq k_n\leqq N-1$かつ$x_1\leqq p_n<q_n\leqq x_N$

が成り立つことを示せ．

(2)　実数$J_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$J_n={\displaystyle \sum _{i=1}^{k_n}}{(x_i-p_n)}^2+{\displaystyle \sum _{i=k_n+1}^N}{(x_i-q_n)}^2$

と定めると，すべての自然数$n$に対して$J_n\leqq J_{n-1}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$が十分大きいとき，$J_n=J_{n-1}\text{，}{p}_n=p_{n-1}\text{，}{q}_n=q_{n-1}\text{，}{k}_n=k_{n-1}$が成り立つことを示せ．