2007　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　座標平面上で円$C_1:x^2+y^2=1$と放物線$C_2:y=x^2+5$に同時に接する直線の方程式を求めよ．また，それらの接線のうち，傾きの値が最小のものと$C_1\text{，}{C}_2$との接点を求めよ．

【２】　下の問いに答えよ．

(1)　$2$次の正方行列$A$が実数$\alpha$に対し${(A-\alpha E)}^2=O$をみたすとき，任意の自然数$n$に対して$A^{n+1}=(n+1){\alpha }^{n}A-n{\alpha }^{n+1}E$が成り立つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)$のとき自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

【３】　微分可能な関数$f(x)$に対して，$f^{\prime }(0)=k$とする．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$a$が定数のとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }x(f({\displaystyle \frac{a}{x}})-f(0))$を求めよ．

(2)　数列$\left\{a_n\right\}$は次の式で与えられる．

$a_1=1\text{，}{a}_n=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{(f({\displaystyle \frac{a_{n-1}}{x}})-f(0))}^2\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$a_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$を求めよ．また，数列$\{a_n\}$が収束するような$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$t$を正の実数とし，$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす定数とする．座標平面上に曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と$3$直線$l_1:y={\displaystyle \frac{1}{t+a}}\text{，}{l}_2:x=t\text{，}{l}_3:x=t+1$がある．$C\text{，}{l}_1\text{，}{l}_2$で囲まれた図形の面積を$S$とし，$C\text{，}{l}_1\text{，}{l}_3$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$t$が正の範囲を動くとき，$T-S$の最大値は正であることを示せ．