2007 東京工業大学 前期MathJax

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2007 東京工業大学 前期

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  p を素数, n 0 以上の整数とする.

(1)  m は整数で 0 mn とする. 1 から p n+1 までの整数の中で, pm で割り切れ p m+1 で割り切れないものの個数を求めよ.

(2)  1 から p n+1 までの 2 つの整数 x y に対し,その積 x y p n+1 で割り切れるような組 (x ,y) の個数を求めよ.

2007 東京工業大学 前期

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 正数 a に対して,放物線 y =x2 上の点 A (a ,a2 ) における接線を, A を中心に −30 ° 回転した直線を l とする. l y =x2 との交点で A でない方を B とする.さらに点 (a ,0) C 原点を O とする.

(1)  l の式を求めよ.

(2) 線分 OC CA y =x2 で囲まれる部分の面積を S (a ) 線分 AB y =x2 で囲まれる部分の面積を T (a ) とする.このとき

lima T (a) S( a)

を求めよ.

2007 東京工業大学 前期

配点70点

易□ 並□ 難□

1007年東京工業大前期【3】の図

【3】 一辺の長さが 1 の正八角形 A 1A 2 A 8 の周上を 3 P Q R が動くとする.

(1)  PQR の面積の最大値を求めよ.

(2)  Q が正八角形の頂点 A 1 に一致し, PQR =90 ° となるとき PQR の面積の最大値を求めよ.



2007 東京工業大学 前期

配点70点

易□ 並□ 難□

【4】(1) 整数 n= 0 1 2 と正数 a n に対して

fn (x)= an (x n) (n +1 x)

とおく. 2 つの曲線 y =fn ( x) y =e x が接するような a n を求めよ.

(2)  fn (x ) は(1)で求めたものとする. y= f0 (x ) y =e x y 軸で囲まれる図形の面積を S0 n 1 に対し y =f n1 (x) y =fn ( x) y =e x で囲まれる図形の面積を S n とおく.このとき

limn (S0 +S 1+ + Sn )

を求めよ.

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