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2007-10267-0101
2007 東京工業大学 前期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 p を素数, n を 0 以上の整数とする.
(1) m は整数で 0≦ m≦n とする. 1 から p n+1 までの整数の中で, pm で割り切れ p m+1 で割り切れないものの個数を求めよ.
(2) 1 から p n+1 までの 2 つの整数 x , y に対し,その積 x ⁢y が p n+1 で割り切れるような組 (x ,y) の個数を求めよ.
2007-10267-0102
配点60点
【2】 正数 a に対して,放物線 y =x2 上の点 A (a ,a2 ) における接線を, A を中心に −30 ° 回転した直線を l とする. l と y =x2 との交点で A でない方を B とする.さらに点 (a ,0) を C , 原点を O とする.
(1) l の式を求めよ.
(2) 線分 OC , CA と y =x2 で囲まれる部分の面積を S ⁡(a ), 線分 AB と y =x2 で囲まれる部分の面積を T ⁡(a ) とする.このとき
lima →∞ ⁡ T⁡ (a) S⁡( a)
を求めよ.
2007-10267-0103
配点70点
【3】 一辺の長さが 1 の正八角形 A 1A 2 ⋯A 8 の周上を 3 点 P , Q ,R が動くとする.
(1) △PQR の面積の最大値を求めよ.
(2) Q が正八角形の頂点 A 1 に一致し, ∠PQR =90 ° となるとき △ PQR の面積の最大値を求めよ.
2007-10267-0104
【4】(1) 整数 n= 0 ,1 ,2 ,⋯ と正数 a n に対して
fn⁡ (x)= an ⁡(x −n) ⁢(n +1− x)
とおく. 2 つの曲線 y =fn ⁡( x) と y =e −x が接するような a n を求めよ.
(2) fn ⁡(x ) は(1)で求めたものとする. y= f0⁡ (x ) ,y =e −x と y 軸で囲まれる図形の面積を S0 ,n ≧1 に対し y =f n−1 ⁡ (x) ,y =fn ⁡( x) と y =e −x で囲まれる図形の面積を S n とおく.このとき
limn →∞ ⁡ (S0 +S 1+ ⋯+ Sn )