2007　東京工業大学　特別入学資格試験MathJax

【1-1】　整数$m=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，実数$x$の関数$g_m(x)$を$g_m(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}}{(\sin \theta )}^{2m}d\theta$と定める．

　$g_m(x)$の最小値を$a_m\text{，}$最大値を$b_m$とするとき，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_m}{b_m}}$を求めよ．

【1-2】　一辺の長さが$10m$の正方形のプールの一つの角に監視員を置く．この監視員は水中は秒速$1m$でプールの縁上は秒速$2m$で移動するとする．

　この監視員がこのプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ．ただし，物事を単純化するため，(ⅰ)監視員は点，プールの縁は線と考え，(ⅱ)プールの縁上でも水中でもどの方向に曲がることも自由自在で，それぞれの秒速は一定だとする．

【2-1】　正の実数$a\text{，}b$に対して，以下の条件(1)，(2)，(3)を満たす関数$f(x)$が存在することを証明せよ．

• (1)　$f(x)$は$0\leqq x\leqq a$における連続な実数値関数で，$f(0)=b\text{，}f(a)=0$を満たす．
• (2)　$0\leqq x_1<x_2\leqq a$なるすべての$x_1\text{，}{x}_2$に対して$f(x_1)>f(x_2)$である．
• (3)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分を，$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_x$と$y$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_y$とは等しい．

【2-2】　直角二等辺三角形の板が机の上に，長さの等しい辺の一辺が真横になっているように置かれているものとする．つまり，以下の$4$種類の置き方があることになる．

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• 置き方：${\mathrm{A}}_0$
• 置き方：${\mathrm{A}}_1$
• 置き方：${\mathrm{A}}_2$
• 置き方：${\mathrm{A}}_3$

　正確なサイコロを用意し，そのサイコロを振って出た目に従い板の置き方を変えていくことにする．

　$1$か$2$の目が出れば，上下対称の置き方に，$3$か$4$の目が出れば，左右対称の置き方に，$5$か$6$の目が出れば，反時計回りに$90°$回転させた置き方に，置き直す．

　例えば，$1$の目が出れば，${\mathrm{A}}_1$を${\mathrm{A}}_0$に，$3$の目が出れば，${\mathrm{A}}_2$を${\mathrm{A}}_1$に，$5$の目が出れば，${\mathrm{A}}_2$を${\mathrm{A}}_3$に変える．このような操作を$n$回繰り返したとき，$\mathrm{X}$の置き方が$\mathrm{Y}$の置き方に変わる確率を$P_n(\mathrm{X},\mathrm{Y})$と書くことにする．ここで，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$は${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$のいずれかとする．

　このとき，$P_n({\mathrm{A}}_0,{\mathrm{A}}_0)\text{，}{P}_n({\mathrm{A}}_0,{\mathrm{A}}_1)\text{，}{P}_n({\mathrm{A}}_0,{\mathrm{A}}_2)\text{，}{P}_n({\mathrm{A}}_0,{\mathrm{A}}_3)$の値を求めよ．