2007 東京工業大学 後期小論文第4類MathJax

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2007 東京工業大学 後期小論文第4類

易□ 並□ 難□

【1】  2 つのベクトル p q を用いて一つの実数 t を定める方法として内積 p q = t がある.平面上の任意のベクトル y は, 1 次独立である 2 つのベクトル(両者は零ベクトルでなく,かつ平行ではない) p q 2 つの実数 c p c q を用いて,次式のように表すことができることが知られている.

y =c p p +cq q (1)

2 つのベクトル p q の内積 p q = t が零 t=0 のとき, 2 つのベクトルは直交するとよばれ,このとき,式(1)の左辺の係数は, c p= p y p p cq = q y q q となる.

 この性質を参考にして,区間 0 x 1 で定義された 1 次関数 f =a x+b (ただし, a b は実数)を, 2 つの互いに異なる関数 g (x )= g1 x+g 0 h (x )=h 1x +h0 (ここで, g1 g2 h1 および h 0 は実数)と 2 つの実数 c g c h を用いて,

f( x)= cgg (x )+c hh (x )(2)

と表すことを考えよう. 2 つの 1 次関数 g( x) h (x ) も区間 0 x 1 で定義されている.

問1 平面上で直交するベクトルの組を基本ベクトル e1 = (1, 0) e2 = (0, 1) 以外で示せ.

問2 式(1)の性質を参考にして,式(2)の右辺の係数 c g ch を定めるために,ベクトルの内積に相当する演算を,関数に対して考えよう.

 区間 0 x1 で定義された 2 つの関数 g (x ) h (x) を用いて一つの実数 t を定める演算 < g(x ),h (x )>=t を考える.ただし,演算 <g (x ),h (x )> は,ベクトルの内積が持つ以下に示す(a)〜(d)の 4 つの性質を満足する必要がある.

(a)  <g (x), h( x)> =<h (x ),g (x) > が成り立つ.

(b) 区間 0 x1 で定義された k (x )=k 1x +k0 (ただし, k1 k 0 は実数)に対して

<g (x)+ k( x), h(x )>= <g (x) ,h (x) >+< k( x),h (x )>

が成り立つ.

(c)  d を任意の実数として,

<d g(x ),h (x)> =d<g (x) ,h( x)>

が成り立つ.

(d)  <g (x), g( x)> 0 が成立し,かつ,等号は 0 x 1 で常に g (x )=0 のときにかぎる.

 いま,区間 0 x 1 内の相異なる 2 点を x 1 x 2 とし,これらを用いて,次式のように,ベクトルの内積に相当する演算を定義する.

<g (x), h( x)> =g( x1 )h (x 1)+ g( x2) h (x2 )= t (3)

 このとき,前述の(a)〜(d)の性質を満たすことを示せ.

問3  x1 =0 x2 =1 として,式(3)の内積に相当する演算により求めた実数 t が零となり,かつ,傾きが零でない 2 つの 1 次関数 g (x ) h( x) の例を一組示せ.

問4 上記の問3で示した一組の 1 次関数 g (x ) h (x ) と,以下の関数

f(x )=-x (4)

について, 2 つの実数 c g c h

cg = <g (x), f( x)> <g (x) ,g( x)> ch= < h(x ),f (x)> <h (x), h(x )>

により求めよ.このとき,式(2)が成立していることを確認せよ.ただし,式(3)を用いる際には, x1 =0 x2= 1 とせよ.

 さらに,考える関数を 2 次関数に拡張することを考えよう.以下では, g( x) h (x ) および k (x ) g (x )= g2 x2+ g1 x+ g0 h (x) =h 2 x2+ h1 x+ h0 および k (x )= k2 x2 +k1 x+ k0 とする(ただし,これらの 2 次関数は区間 0 x 1 で定義されており,係数 g2 g1 g0 h2 h1 h0 k 2 k 1 および k 0 は実数である).

問5 考える 2 つの 2 次関数 g (x ) h (x) に対して,問2の式(3)で定義した内積に相当する演算は,前述の(a)〜(d)の 4 つの性質のうちで 3 つを満たすこと,かつ,残りの一つは満たさないことを示せ.

問6 上記の問5で考えた 2 次関数 g (x ) h (x) に対して,前述の(a)〜(d)の性質をすべて満足させるためには,問2で示した内積に相当する演算の定義

『区間 0 x1 内の相異なる 2 点を x1 x 2 とし,これらを用いて,次式のように,ベクトルの内積に相当する演算を定義する.

<g( x),h (x )>= g( x1) h (x1 )+g (x 2) h( x2) =t

をどのように修正したらよいかを示せ.その際,前述の(a)〜(d)の中で問5では満たされなかった性質が,この修正により満たされることを明らかにすること.

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