2007　東京工業大学　後期小論文第５類MathJax

【２】　区間$[0,\pi ]$に値をとる$\theta$に対して，数列

$f_n(\theta )={(1-{\sin }^n\theta )}^{2^n}(1-4{\sin }^2\theta )|\cos \theta |\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を定義する．また，この数列の極限値として$\theta$の関数

$f(\theta )=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(\theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

を定義する．以下の問に答えよ．ただし，導出過程も記述すること．

問１　すべての$t\geqq -1$と$s>-1$に対して，不等式

$\begin{array}{c}{(1+t)}^n\geqq 1+nt\\ {\displaystyle \frac{1}{{(1+s)}^n}}\geqq 1-{\displaystyle \frac{ns}{1+s}}\end{array}\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成立することを証明せよ．

問２　$\theta$が区間$[0,\pi ]$の間で変化するとき関数$f(\theta )$の値を極限を使わずに表せ．必要なら，導出過程で問１の不等式を用いてよい．

問３　区間$(0,\pi )$の中で関数$f(x)$が微分可能となるすべての点で微分係数を求めよ．また，微分可能でない点をすべて求め，$f(x)$がこれらの点で微分可能でないことを証明せよ．

問４　区間$[0,\pi ]$で関数$f(x)$が最大値をとる$\theta$の値をすべて求めよ．同様に，$f(\theta )$が最小値をとる$\theta$の値をすべて求めよ．

問５　関数

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(\theta )d\theta \text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

を求めよ．また，区間$[0,\pi ]$で関数$g(x)$が最大値をとる$x$の値と$g(x)$が最小値をとる$x$の値を各々すべて求めよ．