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2007 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

理(数,物理,生物,化,情報科学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.以下の各問いに答えよ.

(1)  n 3 で割った余りが 1 ならば,すべての自然数 m に対して n m 3 で割った余りは 1 であることを示せ.

(2)  n 3 で割った余りが 2 ならば,すべての奇数 m に対して n m 3 で割った余りは 2 であることを示せ.

(3)  nm 3 で割った余りが 2 となる自然数 m があれば, n 3 で割った余りも 2 であることを示せ.

2007 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【2】 以下の各問いに答えよ.

(1)  α<β を満たす実数 α β に対して,

α β (x α) (x β) dx= 16 (β α)3

を示せ.

(2) 放物線 P y= x2 +2 x+4 で定める.点 (p ,q) が直線 y =−2 x+1 の上を動くとき, y= (x p)2 +q で定める放物線 Q P と共有点をもつような p の範囲を求めよ.

(3)  p が(2)で求めた範囲を動くとき, P Q で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ.

2007 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面の点 P 0 P1 P2 をそれぞれ (0 ,0) ( 1,0 ) (0 ,1) とし,また 3 以上の自然数 k に対し,点 P k

P k3 Pk =2( P k3 P k1 + Pk 3 Pk 2 )

を満たすように順に定めていく. 2 以上の自然数 k に対し, 3 P k2 Pk 1 P k を頂点とする三角形の面積を f (k ) とおく.このとき,以下の各問いに答えよ.

(1)  f(3 ) を求めよ.

(2)  f (k+ 1)f (k) を求めよ.

(3)  n 2 以上の自然数とする. k =2n f(k ) を求めよ.

2007 お茶の水女子大学 前期共通

理(数,物理,生物,化,情報科学科)学部数学共通

化学科では【2】

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )=x 33 x2 +2 x とおく.

(1) 曲線 y= f(x ) の点 (α ,f (α) ) における接線の方程式を y =g (x ) とおく.このとき, x に関する方程式 f (x )g (x )=0 が重解をもつことを示せ.

(2) 曲線 y= f(x ) 上の点 P n( xn ,f( xn) ) を次の条件(a),(b)で定める.

(ⅰ)  xn 1 x n との関係式を求めよ.

(ⅱ)  xn を求めよ.

2007 お茶の水女子大学 前期共通

理(化学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【3】  a を実数定数とし,関数 f (x )= (x a x) 2 x0 を考える.

(1) この関数が, x=1 で極大値をとるとき, a の値を求めよ.

(2)  a が(1)で求めた値のとき,関数 y =f (x) のグラフをかけ.

(3)  a が(1)で求めた値のとき,関数 y =f( x) のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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