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2007-10270-0101
2007 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科学部
理(数,物理,生物,化,情報科学科)学部数学共通
易□ 並□ 難□
【1】 n を自然数とする.以下の各問いに答えよ.
(1) n を 3 で割った余りが 1 ならば,すべての自然数 m に対して n m を 3 で割った余りは 1 であることを示せ.
(2) n を 3 で割った余りが 2 ならば,すべての奇数 m に対して n m を 3 で割った余りは 2 であることを示せ.
(3) nm を 3 で割った余りが 2 となる自然数 m があれば, n を 3 で割った余りも 2 であることを示せ.
2007-10270-0102
理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通
【2】 以下の各問いに答えよ.
(1) α<β を満たす実数 α , β に対して,
∫α β ⁡(x− α)⁢ (x− β)⁢ dx= − 16 ⁢ (β− α)3
を示せ.
(2) 放物線 P を y= −x2 +2⁢ x+4 で定める.点 (p ,q) が直線 y =−2⁢ x+1 の上を動くとき, y= (x− p)2 +q で定める放物線 Q が P と共有点をもつような p の範囲を求めよ.
(3) p が(2)で求めた範囲を動くとき, P と Q で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ.
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【3】 座標平面の点 P 0 , P1 , P2 をそれぞれ (0 ,0) ,( 1,0 ), (0 ,1) とし,また 3 以上の自然数 k に対し,点 P k を
P k−3 Pk → =2⁢( P k−3 P k−1 → + Pk− 3 Pk −2 → )
を満たすように順に定めていく. 2 以上の自然数 k に対し, 3 点 P k−2 , Pk− 1 ,P k を頂点とする三角形の面積を f ⁡(k ) とおく.このとき,以下の各問いに答えよ.
(1) f⁡(3 ) を求めよ.
(2) f ⁡(k+ 1)f ⁡(k) を求めよ.
(3) n を 2 以上の自然数とする. ∑k =2n ⁡ f⁡(k ) を求めよ.
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化学科では【2】
【3】 f⁡(x )=x 3−3 ⁢x2 +2⁢ x とおく.
(1) 曲線 y= f⁡(x ) の点 (α ,f⁡ (α) ) における接線の方程式を y =g ⁡(x ) とおく.このとき, x に関する方程式 f ⁡(x )−g ⁡(x )=0 が重解をもつことを示せ.
(2) 曲線 y= f⁡(x ) 上の点 P n( xn ,f( xn) ) を次の条件(a),(b)で定める.
(ⅰ) xn −1 と x n との関係式を求めよ.
(ⅱ) xn を求めよ.
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理(化学科)学部数学共通
【3】 a を実数定数とし,関数 f ⁡(x )= (x −a⁢ x) 2 ( x≧0 ) を考える.
(1) この関数が, x=1 で極大値をとるとき, a の値を求めよ.
(2) a が(1)で求めた値のとき,関数 y =f⁡ (x) のグラフをかけ.
(3) a が(1)で求めた値のとき,関数 y =f⁡( x) のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.