2007　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　$x>0$に対して

${\displaystyle \frac{1}{x+1}<\log (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}}$

を示せ．

(2)　$2$曲線${\displaystyle y=\frac{1}{x}}\text{，}y=\log {\displaystyle (1+\frac{1}{x})}$および$2$直線$x=1\text{，}x=a\text{（}a>1\text{）}$で囲まれた図形の面積は$2\log 2-1$より小さいことを示せ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について次の条件(＊)を考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数を表す．

(＊)　${}^{t}AA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=A^2\text{，}A\ne \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{-1}& 0\\ 0& \mathrm{-1}\end{array}\right)$

ここで${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$である．以下の各問いに答えよ．

(1)　行列$A$が条件(＊)を満たすことと，ある実数$\theta$を用いて

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$

と表されることとは同値であることを示せ．

(2)　条件(＊)を満たす行列$A\text{，}B\text{，}C$に対して，その積$ABC$も条件(＊)を満たし，$ABC=CBA$となることを示せ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　$1\leqq i\leqq n$を満たす自然数$i$に対して，

$n\leqq i(n+1-i)\leqq {{\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)}}^2$

を示せ．

(2)　$\sqrt{n^n}\leqq n!\leqq {{\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)}}^n$を示せ．

【４】　$6$つの自然数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$を次のように定める．

$a_1=6\text{，}{a}_2=4\text{，}{a}_3=3\text{，}{a}_4=5\text{，}{a}_5=2\text{，}{a}_6=1\text{．}$

さいころが$1$つあり，さいころを振る係の人$\mathrm{L}$氏がいる．$\mathrm{M}$氏と$\mathrm{N}$氏がそれぞれ，辺の長さ$1$の正五角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5$のいずれかの頂点におり，$2$人は次の(＊)に従って進む．

(＊)　$\mathrm{L}$氏がさいころを$1$回振る．出た目が$i$であるとき，$\mathrm{M}$氏は反時計回りに$i$進み，$\mathrm{N}$氏は反時計回りに$a_i$進む．

例えば，$\mathrm{M}$氏が${\mathrm{A}}_1$にいて，$\mathrm{N}$氏が${\mathrm{A}}_2$にいるとき，(＊)を行ったとする．出た目が$1$であった場合，$\mathrm{M}$氏は${\mathrm{A}}_2$に$\mathrm{N}$氏は${\mathrm{A}}_3$に移動することになる．

　以下の問いに答えよ．

(1)　最初に$\mathrm{M}$氏と$\mathrm{N}$氏は，ともに頂点${\mathrm{A}}_1$にいる．(＊)を$1$回行った後，$\mathrm{M}$氏と$\mathrm{N}$氏が同じ頂点にいる確率を$p_0$とし，$\mathrm{N}$氏が$\mathrm{M}$氏より反時計回りに$j\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$だけ先の頂点にいる確率を$p_j$とする．$p_j\text{（}j=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$を求めよ．

(2)　最初に$\mathrm{M}$氏と$\mathrm{N}$氏は，ともに頂点${\mathrm{A}}_1$にいる．(＊)を$3$回行った後，$\mathrm{M}$氏と$\mathrm{N}$氏が同じ頂点にいる確率を求めよ．

【１】　さいころが机の上に$1$の面を上にして置かれている．底面の目は$6$で，側面の目は$2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$である．このさいころを，机に接する$4$本の辺（稜）のいずれかを回転軸にして$1$回だけ横に倒す操作を”$1$回$\stackrel{\text{ころ}}{\text{転}}$がす”ということにする．最初の状態から$1$回転がした結果，上面は$2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のどれかになる．いま，どの辺を軸にして転がすかは無作為（等確率）であるとし，最初の状態から$n$回転がしたとき，

• $1$の面が上面に来る確率を$a_n\text{，}$
• $1$の面が側面に来る確率と$b_n\text{，}$
• $1$の面が底面に来る確率を$c_n\text{，}$

とする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$がいくつになるか予想せよ．

(2)　次の表の空欄に適当な数値を入れて，表を完成せよ．

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$
$a_n$	$1$	$0$
$b_n$	$0$	$1$
$c_n$	$0$	$0$
$a_n+b_n+c_n$

(3)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}\text{，}{c}_{n-1}$で表せ．

(4)　$n\geqq 4$に対し，$a_n$を$a_{n-1}$で表せ．

(5)　上の漸化式から$a_n$を$n$の関数として求め，それを用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【２】　$0\leqq x\leqq 2\pi$上で定義された関数$f(x)=|\sin x|+\sqrt{3}|\cos x|$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=|\sin x|\text{，}y=\sqrt{3}|\cos x|\text{，}$および$y=f(x)$のグラフの概形を同じ座標平面に重ねて描け．

(2)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．また，それらの値に到達するときの$x$の値をすべて求めよ．

(3)　$x$軸，$y$軸，直線$x=2\pi \text{，}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．