2007　電気通信大学　昼間，夜間共通・前期MathJax

【１】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

$f_1(x)={\sin }^{3}x$

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1-{(-1)}^n}{2}}{\sin }^3+{\displaystyle \frac{1+{(-1)}^n}{2}}{\cos }^{3}x+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_{n-1}(x)dx\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_n(x)dx$とおく．$n\geqq 2$のとき$a_n$を$a_{n-1}$の式で表せ．

(ⅲ)　$a_n$を求めよ．

(ⅳ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　曲線$C_1:y=e^{2x}$上の点${\mathrm{P}}_1(a,e^{2a})$における接線と，曲線$C_2:e^{-x}$上の点${\mathrm{P}}_2(b,e^{-b})$における接線とが，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(c,0)$で交わるとする．ただし$a>0\text{，}b<0$とする．曲線$C_1\text{，}x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=b$で囲まれた図形を$D_1$とする．また曲線$C_2\text{，}x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=b$で囲まれた図形を$D_2$とする．さらに$D_1$と$D_2$の共通部分を$E$とし，$E$の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$を用いて$c\text{，}b$を表せ．

(ⅱ)　$a$を用いて$S$を表せ．

(ⅲ)　$a$が変化するとき$S$が最大となる$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　$a$を(ⅲ)で求めた値とする．$E$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$と傾き$-a\text{（}a>0\text{）}$の直線$l$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　直線$l$の$y$切片を$b$とする．$b$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$a\text{，}b$で表せ．

(ⅲ)　$l$と平行な直線のうち，曲線$C$と接するものの方程式を求めよ．以下，その接点を$\mathrm{R}$とする．

(ⅳ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$d\text{，}$点$\mathrm{R}$と$l$の距離を$h$とする．$t={\displaystyle \frac{a}{a^2+1}}\text{，}u={\displaystyle \frac{b^2}{a}}$とおいて，$d^2$および$h$を$t\text{，}u$で表せ．

　以下では，$d=2$を保ちながら$a$を動かして考える．

(ⅴ)　$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を$t$で表せ．

(ⅵ)　$t$の値の範囲を求め，$S$の最大値を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．ここで係数$x\text{，}y$は連立不等式

(＊)　$2x+y\geqq 1\text{，}x+y\leqq 1\text{，}y\geqq 0$

をみたす実数とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　連立不等式(＊)の表す領域を図示せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の存在する領域を求めよ．

以下では，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=6$

とする．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　$▵\mathrm{OAB}$上の点${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n$を次の条件によって定める．

${\mathrm{A}}_1=\mathrm{A}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}$（$n\geqq 1$のとき）

${\mathrm{B}}_1=\mathrm{B}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n}$（$n\geqq 1$のとき）

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}=x\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}+y\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n}$とする．実数$x\text{，}y$が連立不等式(＊)をみたしながら動くとき，点${\mathrm{P}}_n$の存在する範囲の面積$S_n$を求めよ．

(ⅴ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

【３】　曲線$C:y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$上の点$(t,t+{\displaystyle \frac{1}{t}})$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　原点$\mathrm{O}$と接線$l$の距離$d$を求めよ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{OAB}$が正三角形となるように$l$上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．このとき$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$を$t$で表せ．

(ⅳ)　$S$の最大値とそれを与える$t$の値を求めよ．

【４】　次の計算をせよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x-1}{x}}$

【４】　次の計算をせよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{\log (x^2+x+1)}{x}}\right)$

【４】　次の計算をせよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_{-1}^0}x\sqrt{x+1}dx$

【４】　次の計算をせよ．

(ⅳ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx$

【４】　次の計算をせよ．

a name="s-0110" id="s-0110">(ⅴ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{3}^{1-2x}dx$