2007　電気通信大学　昼間・後期MathJax

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\cos }^{2}x& (|x|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ 0& (|x|>{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$

曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$|x|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{x\to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}{x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$および$\underset{x\to \frac{\pi }{2}+0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}{x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$の接線で傾き$-1$のものを$l$とする．接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C\text{，}$接線$l$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$C:x=u(t)\text{，}y=v(t)\text{（}t>0\text{）}$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$l$および$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$u(t)\text{，}v(t)$を求めよ．

(ⅲ)　$x=u(t)\text{，}y=v(t)$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の関数として表し，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}>0$であることを示せ．

(ⅳ)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log t}{t^2}}dt$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅴ)　曲線$C\text{，}x$軸および直線$x=u(e)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(ⅰ)　$f(x)$の極値を求めよ．

ここで，定数$a$に対して，曲線$y=f(x)$とこの曲線上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線との共有点を調べるために，$x$の多項式

$F(x)=(x^2+1)\{f(x)-f(a)-f^{\prime }(a)(x-a)\}\cdots \text{①}$

を考える．$F(x)$は$3$次以下の多項式で$x^3$の係数が$-f^{\prime }(a)$であるから，

$F(x)=-f^{\prime }(a){(x-a)}^3+A{(x-a)}^2+B(x-a)+C\cdots \text{②}$

という形（$A\text{，}B\text{，}C$は定数）に表すことができる．

(ⅲ)　$\text{①}$より$F(a)\text{，}{F}^{\prime }(a)\text{，}{F}^{″}(a)$を計算し，$\text{②}$の$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．必要なら$f(a)\text{，}{f}^{\prime }(a)\text{，}{f}^{″}(a)$を用いてもよい．

(ⅳ)　曲線$y=f(x)$とこの曲線上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線とが点$\mathrm{P}$のほかに共有点をもたないとする．このような$a$の値をすべて求めよ．

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

直線$y=\sqrt{3}x$を$l$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と直線$l$との交点${\mathrm{Q}}_1$の座標を求めよ．また，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1:{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2=\alpha :(1-\alpha )$となるような$\alpha$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$\alpha$の値に対して，${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n:{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}=\alpha :(1-\alpha )$となるような線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$上の点${\mathrm{Q}}_n$の座標を$a_n\text{，}{b}_n$の式で表せ．また，任意の$n$に対して${\mathrm{Q}}_n$が直線$l$上の点であることを示せ．

(ⅳ)　点${\mathrm{P}}_n$と直線$l$との距離を$d_n$とする．数列$\{d_n\}$が等比数列であることを示し，初項と公比を求めよ．

(ⅴ)　数学的帰納法を用いて，任意の$n$に対して$a_n\geqq 1\text{，}{b}_n\geqq 0$であることを示せ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を求めよ．