2007　一橋大学　前期MathJax

【１】　$m$を整数とし，$f(x)=x^3+8x^2+mx+60$とする．

(1)　整数$a$と，$0$ではない整数$b$で，$f(a+bi)=0$をみたすものが存在するような$m$をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　(1)で求めたすべての$m$に対して，方程式$f(x)=0$を解け．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を

• $a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=4a_n$
• $b_1=3\text{，}{b}_{n+1}=b_n+2a_n$
• $c_1=4\text{，}{c}_{n+1}={\displaystyle \frac{c_n}{4}}+a_n+b_n$

と順に定める．放物線$y=a_n{x}^2+2b_{n}x+c_n$を$H_n$とする．

(1)　$H_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．

(2)　$H_n$と$x$軸の交点を${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k$を求めよ．

【３】　放物線$y=a{x}^2+bx\text{（}a>0\text{）}$を$C$とする．$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，その$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q\text{（}0<p<q\text{）}$とする．

(1)　線分$\mathrm{OQ}$と$C$で囲まれた部分の面積が，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の${\displaystyle \frac{3}{2}}$倍であるとき，$p$と$q$の関係を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(2)　$\mathrm{Q}$を固定して$\mathrm{P}$を動かす．$▵\mathrm{OPQ}$の面積が最大となるときの$p$を$q$で表せ．また，そのときの$▵\mathrm{OPQ}$の面積と，線分$\mathrm{OQ}$と$C$で囲まれた部分の面積との比を求めよ．

【４】　$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3a{x}^2+a$とする．$x\leqq 2$の範囲で$f(x)$の最大値が$105$となるような$a$をすべて求めよ．

【５】　$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots \text{，}n$が書かれたカードが$1$枚の全部で$n$枚のカードからなる組がある．この組から$1$枚を抜き出し元にもどす操作を$3$回行う．抜き出したカードに書かれた数を$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，得点$X$を次の規則(ⅰ)，(ⅱ)に従って定める．

• (ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c$がすべて異なるとき，$X$は$a\text{，}b\text{，}c$のうちの最大でも最小でもない値とする．
• (ⅱ)　$a\text{，}b\text{，}c$のうちに重複しているものがあるとき，$X$はその重複した値とする．

　$1\leqq k\leqq n$をみたす$k$に対して，$X=k$となる確率を$p_k$とする．

(1)　$p_k$を$n$と$k$で表せ．

(2)　$p_k$が最大となる$k$を$n$で表せ．