2007　一橋大学　後期MathJax

【１】　直角をはさむ二辺の長さが$a\text{，}b$の直角三角形がある．内接円の半径を$r$とする．

(1)　$r$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$a\text{，}b$は整数とし，$r=5$とする．このような$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_{2n}=2a_n-1\text{，}{a}_{2n+1}=2a_n+1$

をみたす．

(1)　$n=2^m$のとき，$a_n$を求めよ．

(2)　$n=2^m+r\text{（}r=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}{2}^m-1\text{）}$のとき，$a_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の定数とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を，それぞれ関数$y={\displaystyle \frac{a}{x}}\text{，}y=-{\displaystyle \frac{b}{x}}$のグラフ上の点とする．$▵\mathrm{POQ}$の面積の最小値を求めよ．さらに，面積が最小となる$▵\mathrm{POQ}$で，$\angle \mathrm{POQ}$が直角になるときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

【４】　$xyz$空間内の平面$z=0$の上に$x^2+y^2=25$により定まる円$C$があり，平面$z=4$の上に$x=1$により定まる$y$軸に平行な直線$l$がある．

(1)　点$\mathrm{P}(6,8,15)$から$C$上の点への距離の最小値を求めよ．

(2)　$C$上の点で，$l$上の点への距離の最小値が$5$であるものをすべて求めよ．

【５】　$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots \text{，}n$が書かれたカードが$1$枚の全部で$n$枚のカードからなる組が$2$組ある．$\mathrm{A}$はそのうちの$1$組をもち，$\mathrm{B}$は別の$1$組をもつ．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，それぞれ無作為に自分のもっている組のうちの$1$枚を取り出す．$\mathrm{A}$が取り出したカードに書かれている数を$a$とし，$\mathrm{B}$が取り出したカードに書かれている数を$b$とする．次の規則(ⅰ)，(ⅱ)に従って，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の得点を定める．

• (ⅰ)　$a=b$のとき，$\mathrm{A}$の得点を$a^2$とし，$\mathrm{B}$の得点を$0$とする．
• (ⅱ)　$a\ne b$のとき，$\mathrm{A}$の得点を$0$とし，$\mathrm{B}$の得点を$|a-b|$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の得点の期待値を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$の得点の期待値を求めよ．