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2007 横浜国立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 連立方程式

{ log2 x y+ logx 2 y=1 log 2 xy =1

を解け.

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経済学部

易□ 並□ 難□

【1】

(2)  sin3 θ+ cos3 θ= 13 27 90°< θ<180 ° のとき, sin θ および cos θ の値を求めよ.

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経済学部

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の数とする. xy 平面上の曲線 C1: y=x 2 上のすべての点を点 (a , 23 a 2+1 ) に関して対称移動して得られる曲線を C 2 とする.次の問いに答えよ.

(1)  C2 の方程式を求めよ.

(2)  C1 C 2 が異なる 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.

(3)  a が(2)の範囲を動くとき, C1 C 2 2 交点 P Q および点 R (0 ,2) を頂点とする三角形の面積を最大にする a の値を求めよ.

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経済学部

易□ 並□ 難□

【3】  k を自然数とするとき,

x<y< k<x+ y

をみたす自然数の組 (x ,y) の個数を a k とする.次の問いに答えよ.

(1)  a7 a8 を求めよ.

(2)  n を自然数とするとき, a2 n1 a2 n n の式で表せ.

(3)  n を自然数とするとき, k =1 2n ak n の式で表せ.

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工学部

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【1】 次の定積分を求めよ.

(1)  0 π4 d x1+ sinx

(2)  43 2 dx x2 x1

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工学部

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【2】  xy 平面上に,直線 l: x a+y b= 1 がある.ただし, a b は正の定数である.曲線 C : x2 u2 +y 2v 2 =1 がつねに l に接しているように正の実数 u v を変化させる. C で囲まれる部分を x 軸の周りに回転してできる立体の体積を V とする.次の問いに答えよ.

(1)  v2 a b u を用いて表せ.

(2)  V の最大値を, a b を用いて表せ.また,そのときの C の方程式を a b を用いて表せ.

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工学部

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【3】  xy 平面上に, b<a 2 をみたす点 A (a ,b) がある.曲線 C :y= x2 上に点 P をとり,線分 AP k :k 1 k>1 に外分する点を Q とする. P C 上を動くときにできる Q の軌跡を C とする.次の問いに答えよ.

(1)  C の方程式を求めよ.

(2)  C C 2 つの点で交わることを示し, C C で囲まれる部分の面積を求めよ.

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工学部

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【4】  a b は実数とする.関数 f (x )= x3+ 3a x2 +3 bx が極大値と極小値をもつ.次の問いに答えよ.

(1) 極大値が正で,極小値が負で,かつ極大値と極小値の和が負となる点 (a ,b) の範囲を図示せよ.

(2) 極大値が 1 で,極小値が −1 であるような点 (a ,b) をすべて求めよ.

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