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2007-10301-0101
2007 横浜国立大学 前期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 連立方程式
{ log2 ⁢x ⁡y+ logx ⁡2⁢ y=1 log 2⁡ x⁢y =1
を解け.
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(2) sin3 ⁡θ+ cos3 ⁡θ= 13 27 ( 90°< θ<180 °) のとき, sin⁡ θ および cos ⁡θ の値を求めよ.
2007-10301-0103
【2】 a を正の数とする. xy 平面上の曲線 C1: y=x 2 上のすべての点を点 (a , 23 ⁢a 2+1 ) に関して対称移動して得られる曲線を C 2 とする.次の問いに答えよ.
(1) C2 の方程式を求めよ.
(2) C1 と C 2 が異なる 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.
(3) a が(2)の範囲を動くとき, C1 と C 2 の 2 交点 P , Q および点 R (0 ,2) を頂点とする三角形の面積を最大にする a の値を求めよ.
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【3】 k を自然数とするとき,
x<y< k<x+ y
をみたす自然数の組 (x ,y) の個数を a k とする.次の問いに答えよ.
(1) a7 , a8 を求めよ.
(2) n を自然数とするとき, a2⁢ n−1 , a2 ⁢n を n の式で表せ.
(3) n を自然数とするとき, ∑k =1 2⁢n ⁡ ak を n の式で表せ.
2007-10301-0105
工学部
【1】 次の定積分を求めよ.
(1) ∫0 π4 ⁡ d x1+ sin⁡x
(2) ∫ 43 2 ⁡ dx x2 ⁢ x−1
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【2】 xy 平面上に,直線 l: x a+y b= 1 がある.ただし, a , b は正の定数である.曲線 C : x2 u2 +y 2v 2 =1 がつねに l に接しているように正の実数 u , v を変化させる. C で囲まれる部分を x 軸の周りに回転してできる立体の体積を V とする.次の問いに答えよ.
(1) v2 を a ,b , u を用いて表せ.
(2) V の最大値を, a ,b を用いて表せ.また,そのときの C の方程式を a , b を用いて表せ.
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【3】 xy 平面上に, b<a 2 をみたす点 A (a ,b) がある.曲線 C :y= x2 上に点 P をとり,線分 AP を k :k− 1 ( k>1 ) に外分する点を Q とする. P が C 上を動くときにできる Q の軌跡を C ′ とする.次の問いに答えよ.
(1) C ′ の方程式を求めよ.
(2) C と C ′ は 2 つの点で交わることを示し, C と C ′ で囲まれる部分の面積を求めよ.
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【4】 a ,b は実数とする.関数 f ⁡(x )= x3+ 3⁢a ⁢x2 +3⁢ b⁢x が極大値と極小値をもつ.次の問いに答えよ.
(1) 極大値が正で,極小値が負で,かつ極大値と極小値の和が負となる点 (a ,b) の範囲を図示せよ.
(2) 極大値が 1 で,極小値が −1 であるような点 (a ,b) をすべて求めよ.