2007　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　$a>\sqrt{2}$とする．$xy$平面において点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$点$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{a}{2}},0)\text{，}$および原点$\mathrm{O}$を通る円を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の中心と半径を求めよ．

(2)　$C$と曲線$y=x^2$との交点で$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}$と異なるものが$2$点あることを示せ．さらに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}$以外の$2$つの交点を$\mathrm{P}(s,s^2)\text{，}\mathrm{Q}(t,t^2)$とするとき，$s+t\text{，}st$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における曲線$y=x^2$のそれぞれの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$は$C$上にあることを示せ．

【２】　$a$を$a>1$をみたす実数とし，$f(x)=x^3-3ax-a(a+1)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$の方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$x$の方程式$f(x)=0$の実数解を$c$とする．このとき$c=t+{\displaystyle \frac{a}{t}}$をみたす実数$t$が存在することを示し，そのような$t$に対して，$t^3+{\displaystyle \frac{a^3}{t^3}}=a(a+1)$であることを示せ．

(3)　$c$を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを続けて$2$回投げ，$1$回目に出た目が$m\text{，}2$回目に出た目が$n$であるとき，$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$を

• $f(x)=-(x-m)(x+n)$
• $g(x)=(x-m+a)(x+n+a)+2mn\text{（}a\text{は定数）}$

で定める．さらに$xy$平面上の$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分の面積を$S$とする．ただし囲まれる部分がないときには$S=0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a=2$とする．$S=0$となる確率を求めよ．

(2)　$S\ne 0$のとき，$S$を$a\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$a=3$とする．$S$の期待値を求めよ．

【４】　正の整数$n=2^{a}b$（ただし$a$は$0$以上の整数で$b$は奇数）に対して$f(n)=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　正の整数$k\text{，}m$に対して$f(km)=f(k)+f(m)$であることを示せ．

(2)　$f(3^n+1)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　$f(3^n-1)-f(n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【１】(1)　$x>0$のとき，${\displaystyle \frac{x^2}{e^x}<\frac{6}{x}}$を示せ．

(2)　(1)を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$を示せ．

(3)　$k$を実数とするとき，$x$の方程式$x^2+3x+1=k{e}^x$の実数解の個数を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)\text{（}a\text{，}b\text{は正）}$がある．$▵\mathrm{OAB}$の内接円$C$の中心を$\mathrm{I}\text{，}$半径を$r\text{，}C$と$\mathrm{OA}$との接点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{OA}$の中心を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{BH}$の中点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$r$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=p\overrightarrow{\mathrm{OM}}+q\overrightarrow{\mathrm{ON}}$をみたす$p\text{，}q$を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$\mathrm{I}$は線分$\mathrm{MN}$上にあることを示せ．

【３】　$xy$平面上に，楕円$C;{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$がある．ただし，$0<a<b$である．$C$の焦点を$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$とし，$\mathrm{F}$を通る傾き$t$の直線と$C$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$とするとき，$|p-q|$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$t$がすべての実数を動くとき，$▵{\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{PQ}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$を

$x_1=a\text{，}{x}_2=b\text{，}{x}_{n+2}=p{x}_{n+1}-x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$a\text{，}b\text{，}p$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，

${x_{n+1}}^2-p{x}_{n+1}{x}_n+{x_n}^2=a^2-pab+b^2$

であることを示せ．

(2)　$|p|<2$のとき，

${x_n}^2\leqq {\displaystyle \frac{4(a^2-pab+b^2)}{4-p^2}}$

であることを示せ．

(3)　$|p|\geqq 2$で，$a^2-pab+b^2=0\text{，}a\ne 0$が成り立つとき，$\{x_n\}$の一般項を$a\text{，}b$で表せ．

【５】　$xy$平面上に，曲線$C:y=a{e}^x$がある．ただし，$0<a<1$である．$t$を$t\geqq 0$をみたす実数とし，$C$上の点$\mathrm{P}(t,a{e}^t)$における$C$の接線$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$l$に垂直で$\mathrm{P}$を通る直線上に点$\mathrm{R}(u,v)$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$かつ$u\leqq t$となるようにとる．次の問いに答えよ．

(1)　$u\text{，}v$を$t$の式で表せ．

(2)　$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の描く曲線と$y$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．