2007　新潟大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の放物線$y=-x^2+px+q$とする．点$(1,1)$は$C$上にあり，直線$y=-x+2$が点$(1,1)$で$C$に接しているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=|x^2-4x-12|$のグラフをかけ．

(2)　(1)のグラフと直線$y=a$の共有点の個数は，定数$a$の値によってどのように変化するか調べよ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$で表せ．

(2)　直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$の長さが$36$のとき，線分$\mathrm{SG}$の長さを求めよ．

【４】　半径$1$の円の周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がこの順にある．弧$\mathrm{AB}\text{，}$弧$\mathrm{BC}\text{，}$弧$\mathrm{CD}\text{，}$弧$\mathrm{DA}$の長さをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}\pi }\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}\pi }\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}\pi }\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}\pi }$とする．ただし，$\pi$は円周率である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\angle \mathrm{APB}$の大きさを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　${\log }_{10}2=\mathrm{0.3.010}\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として，以下の問いに答えよ．

(1)　${15}^{15}$は何桁の整数であるか．

(2)　$m\text{，}n$は正の整数で$100m>106n$をみたしているとき，不等式$8^m>9^n$が成り立つことを示せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OC}$上を動くものとする．線分$\mathrm{OP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{AP}}^2\text{，}{\mathrm{PM}}^2$を$t$で表せ．

(2)　$\angle \mathrm{PAM}=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{AMP}$の面積を$t$で表せ．

(4)　$▵\mathrm{AMP}$の面積の最小値を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とし，$x\geqq 0$で定義された関数$f(x)=a\sqrt{x}{e}^{{\displaystyle -\frac{ax}{2}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

(3)　$0<a_1<a_2$のとき，$V(a_1)<V(a_2)$となることを示せ．

【５】　座標平面において，直線$y=x$に関する対称移動を表す行列を$A\text{，}$原点のまわりの$-90°$の回転移動を表す行列を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

（1)　行列$A\text{，}B$を求めよ．

(2)　$A^m=E\text{，}{B}^n=E$となる最小の正の整数$m\text{，}n$をそれぞれ求めよ．

(3)　$ABA=B^k\text{，}A{B}^{2}A=B^l$をみたす最小の正の整数$k\text{，}l$をそれぞれ求めよ．

(4)　$BA\text{，}{B}^{2}A\text{，}{B}^{3}A$をそれぞれ$A{B}^s\text{（}s=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$の形で表せ．